2011-北京卷理-17 解-期望

本题导读

本题考查茎叶图与统计量。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(理)） 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 $X$ 表示.

\text{甲组} & & \text{乙组} \\ \hline 9 \quad 9 & 0 & X \quad 8 \quad 9 \\ 1 \quad 1 & 1 & 0 \end{array}$$ (1) 如果 $X = 8$，求乙组同学植树棵数的平均数和方差； (2) 如果 $X = 9$，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数 $Y$ 的分布列和数学期望. （注：方差 $s^2 = \frac{1}{n}\left[(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \cdots + (x_n - \bar{x})^2\right]$，其中 $\bar{x}$ 为 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 的平均数）

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：由茎叶图写出乙组的 4 个数据（当 $X=8$ 时为 8, 8, 9, 10），直接运用平均数和方差公式计算。
2. 第(2)问：当 $X=9$ 时，甲组数据为 $\{9,9,11,11\}$，乙组数据为 $\{9,8,9,10\}$。分别列出抽取的总棵数 $Y$ 所有可能的取值（17, 18, 19, 20, 21），计算各取值对应的概率，列出分布列并计算期望。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

解： (1) 当 $X=8$ 时，乙组四名同学的植树棵数分别为：$8,8,9,10$。 平均数为： $\bar{x}=\frac{8+8+9+10}{4}=\frac{35}{4}=8.75$ 方差为： $s^2=\frac{1}{4}\left[(8-8.75{)}^2+(8-8.75{)}^2+(9-8.75{)}^2+(10-8.75{)}^2\right]$ $s^2=\frac{1}{4}\left[(-0.75{)}^2+(-0.75{)}^2+0.25^2+1.25^2\right]=\frac{1}{4}\left[\frac{9}{16}+\frac{9}{16}+\frac{1}{16}+\frac{25}{16}\right]=\frac{1}{4}\times \frac{44}{16}=\frac{11}{16}=0.6875$

(2) 当 $X=9$ 时， 甲组四名同学植树棵数为：$9,9,11,11$； 乙组四名同学植树棵数为：$8,9,9,10$。

分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，设甲组选出的棵数为 $X_1$，乙组选出的棵数为 $X_2$，总棵数 $Y=X_1+X_2$。 $Y$ 的可能取值为：$17,18,19,20,21$。

计算各取值的概率：

• $P(Y=17)=P(X_1=9,X_2=8)=\frac{2}{4}\times \frac{1}{4}=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$；
• $P(Y=18)=P(X_1=9,X_2=9)=\frac{2}{4}\times \frac{2}{4}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$；
• $P(Y=19)=P(X_1=9,X_2=10)+P(X_1=11,X_2=8)=\frac{2}{4}\times \frac{1}{4}+\frac{2}{4}\times \frac{1}{4}=\frac{2+2}{16}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$；
• $P(Y=20)=P(X_1=11,X_2=9)=\frac{2}{4}\times \frac{2}{4}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$；
• $P(Y=21)=P(X_1=11,X_2=10)=\frac{2}{4}\times \frac{1}{4}=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$。

所以 $Y$ 的分布列为：

$Y$	17	18	19	20	21
$P$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$

$Y$ 的数学期望为： $\mathrm{E}Y=17\times \frac{1}{8}+18\times \frac{2}{8}+19\times \frac{2}{8}+20\times \frac{2}{8}+21\times \frac{1}{8}$ $\mathrm{E}Y=\frac{17+36+38+40+21}{8}=\frac{152}{8}=19$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：茎叶图数据读取、样本方差计算、随机变量分布列与期望。
• 核心方法：
• 随机变量期望也可利用性质 $\mathrm{E}Y=\mathrm{E}{X}_1+\mathrm{E}{X}_2$ 快速检验：$\mathrm{E}{X}_1=10$，$\mathrm{E}{X}_2=9$，则 $\mathrm{E}Y=19$；
• 枚举组合情况时按树状图或列表防止漏项。
• 避坑指南：读取茎叶图时注意“十位”在中央“茎”上，个位在两侧“叶”上，且甲组在左侧，读数需从内向外读。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自高考概率与统计大题基础标准考题。
• 结论推广：对独立随机变量 $X,Y$，有 $\mathrm{E}(X+Y)=\mathrm{E}X+\mathrm{E}Y$ 恒成立。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2010-山东卷文-06 单-平均数与方差
• 2013-山东卷文-10 单-茎叶图方差
• 2013-浙江卷理-19 解-分布列