2011-新课标卷文-11 单-三角函数图象性质

本题导读

本题考查辅助角公式，以及余弦型函数的单调性与对称性。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(文)） 设函数 $f(x)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)+\cos \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$，则 ()

A. $y=f(x)$ 在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 单调递增，其图象关于直线 $x=\frac{\pi }{4}$ 对称

B. $y=f(x)$ 在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 单调递增，其图象关于直线 $x=\frac{\pi }{2}$ 对称

C. $y=f(x)$ 在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 单调递减，其图象关于直线 $x=\frac{\pi }{4}$ 对称

D. $y=f(x)$ 在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 单调递减，其图象关于直线 $x=\frac{\pi }{2}$ 对称

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：$f(x)=\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=\sqrt{2}\cos 2x$
2. 步骤2：再按余弦函数性质判断

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由和角公式，$f(x)=\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=\sqrt{2}\cos 2x$。

当 $0<x<\frac{\pi }{2}$ 时，$0<2x<\pi$，故 $f^{\prime }(x)=-2\sqrt{2}\sin 2x<0$，函数单调递减；

又 $f\left(\frac{\pi }{2}+t\right)=\sqrt{2}\cos (\pi +2t)=f\left(\frac{\pi }{2}-t\right)$，图象关于直线 $x=\frac{\pi }{2}$ 对称，故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：辅助角公式化 $A\cos (\omega x+\phi )$；余弦函数在 $[0,\pi ]$ 上递减、对称轴过最值点

核心方法：先合并成单一三角函数，再按 $2x$ 的范围判断单调性与对称轴

避坑指南：$\sin u+\cos u=\sqrt{2}\sin \left(u+\frac{\pi }{4}\right)$，这里 $u=2x+\frac{\pi }{4}$ 恰好化成 $\sqrt{2}\sin (2x+\frac{\pi }{2})=\sqrt{2}\cos 2x$；对称轴 $x=\frac{k\pi }{2}$，$\frac{\pi }{4}$ 不是对称轴。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角函数图象性质综合题，与 2012 年北京卷文第 15 题、2013 年浙江卷文第 6 题同族。

结论推广：一般地 $\sin u+\cos u=\sqrt{2}\cos \left(u-\frac{\pi }{4}\right)$；余弦型函数 $A\cos 2x$ 的对称轴为 $x=\frac{k\pi }{2}$，对称中心为 $\left(\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},0\right)$。

方法推广：三角函数性质题三步：辅助角（或诱导）化成单一函数 → 换元看内层角范围 → 按基本函数的单调区间与对称轴套结论。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2012-北京卷文-15 解-三角化简周期与单调
• 2013-浙江卷文-06 单-三角周期振幅
• 2012-江西卷文-09 单-降幂与对称求值