2011-湖北卷文-14 填-直线与圆弦长

本题导读

本题考查直线与圆的弦长，以及点到直线的距离。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(文)） 过点 $(-1,-2)$ 的直线 $l$ 被圆 $x^2+y^2-2x-2y+1=0$ 截得的弦长为 $\sqrt{2}$，则直线 $l$ 的斜率为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：弦长 $\sqrt{2}$、半径 $1$ 给出弦心距 $\frac{1}{\sqrt{2}}$
2. 步骤2：对斜率 $k$ 列距离方程

✅【答案】

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$1$ 或 $\frac{17}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

圆配方：$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=1$，圆心 $(1,1)$，半径 $r=1$。

弦长 $\sqrt{2}$，由勾股定理弦心距 $d=\sqrt{r^2-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$。

设直线 $l$：$y+2=k(x+1)$，即 $kx-y+(k-2)=0$。

$d=\frac{|k\cdot 1-1+k-2|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{|2k-3|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$。

两边平方：$2(2k-3{)}^2=k^2+1$，即 $8k^2-24k+18=k^2+1$，$7k^2-24k+17=0$。

解得 $k=\frac{24\pm \sqrt{576-476}}{14}=\frac{24\pm 10}{14}$，即 $k=1$ 或 $k=\frac{17}{7}$。

验：$k=1$ 时 $d=\frac{|2-3|}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 合题；$k=\frac{17}{7}$ 时 $d=\frac{|34/7-3|}{\sqrt{289/49+1}}=\frac{13/7}{\sqrt{338}/7}=\frac{13}{13\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 亦合题。

故斜率为 $1$ 或 $\frac{17}{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的弦长与弦心距；点到直线距离公式；二次方程的两解

核心方法：弦长 → 弦心距（勾股定理）→ 距离方程（含斜率 $k$）→ 解二次方程

避坑指南：过圆外一点的弦长条件常对应两条直线，两解都要保留；距离公式的分子是 $|2k-3|$（把圆心坐标代入 $kx-y+k-2$ 后合并），漏掉 $-y$ 系数 $-1$ 会错成 $|k-2|$；二次方程求根 $\Delta =100$，$\sqrt{\Delta }=10$；竖直线 $x=-1$ 到圆心距离 $2>r$，与圆不相交，可放心只设点斜式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与圆弦长题与 2012-福建卷文-07、2012-北京卷文-09、2013-浙江卷文-13 同族。

结论推广：推广：过定点 $P$ 且弦长为定值 $L$ 的直线，其弦心距 $d=\sqrt{r^2-(L/2{)}^2}$ 恒定，故这些直线恰是过 $P$ 与圆心距离为 $d$ 的两条切线族的”平行等距线”，一般两解。

方法推广：弦长问题：圆配方 → 勾股定弦心距 → 距离公式列方程；含参数二次方程的两解对应两条弦。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2012-福建卷文-07 单-直线与圆弦长
• 2012-北京卷文-09 填-直线与圆弦长
• 2013-浙江卷文-13 填-圆的弦长