2012-上海卷文-21 解-抛物线应用建模最值

本题导读

本题考查抛物线。核心在于坐标法、基本不等式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(文)） 海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 $y$ 轴正方向建立平面直角坐标系（以 $1$ 海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向 $12$ 海里 $A$ 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 $y=\frac{12}{49}{x}^2$；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发 $t$ 小时后，失事船所在位置的横坐标为 $7t$.

(1)当 $t=0.5$ 时，写出失事船所在位置 $P$ 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；

(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

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🔍【思路分析】

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$t=0.5$ 时 $P(3.5,3)$，速度 $\sqrt{949}$ 海里/时、方向北偏东 $\arctan \frac{7}{30}$；追上所需最小时速 $25$ 海里/时。

✅【答案】

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(1)$y_P=3$；速度为 $\sqrt{949}$ 海里/时，方向北偏东 $\arctan \frac{7}{30}$；(2)至少 $25$ 海里/时

✍【详细解析】

Abstract

失事船位置为 $\left(7t,\frac{12}{49}\times (7t{)}^2\right)=\left(7t,12t^2\right)$。

（1）$t=0.5$ 时横坐标为 $3.5$，纵坐标 $y_P=12\times 0.25=3$，即 $P(3.5,3)$，$A(0,-12)$。

会合时救援船行驶路程 $|AP|=\sqrt{3.5^2+15^2}=\sqrt{\frac{949}{4}}=\frac{\sqrt{949}}{2}$ 海里，用时 $0.5$ 小时，速度为 $\sqrt{949}$ 海里/时。

方向：位移 $(3.5,15)$ 与正北方向夹角的正切为 $\frac{3.5}{15}=\frac{7}{30}$，即北偏东 $\arctan \frac{7}{30}$。

（2）设两船在时刻 $t$ 相遇，救援船时速 $v$，则 $v⩾\frac{|AP(t)|}{t}$，其中 $|AP(t)|=\sqrt{(7t{)}^2+(12t^2+12{)}^2}$。

$\frac{|AP(t){|}^2}{t^2}=49+\frac{144(t^2+1{)}^2}{t^2}=49+144{\left(t+\frac{1}{t}\right)}^2$。

由 $t+\frac{1}{t}⩾2$（$t>0$，当 $t=1$ 时取等），得 $v^2⩾49+144\times 4=625$，$v⩾25$。

故救援船时速至少为 $25$ 海里/时（此时 $t=1$，会合点为 $(7,12)$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线上的点；两点间距离公式；基本不等式求最值

核心方法：先把失事船位置参数化，再按速度=路程/时间建模，最后对 $t+\frac{1}{t}$ 用基本不等式

避坑指南：$A$ 在正南 $12$ 海里即 $A(0,-12)$，距离计算时用 $12t^2+12$ 而非 $12t^2-12$；方向角是与正北的偏角，用水平位移与竖直位移之比；$t>0$ 且取等条件 $t=1$ 可以实现。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥曲线应用建模题，与 2013 年上海卷文第 20 题、2014 年上海卷文第 21 题同族。

结论推广：$\frac{\sqrt{(at{)}^2+(b{t}^2+b{)}^2}}{t}=\sqrt{a^2+b^2{\left(t+\frac{1}{t}\right)}^2}$，由 $t+\frac{1}{t}⩾2$ 收敛。

方法推广：应用题三步：参数化动点 → 建立目标（速度、路程） → 基本不等式或换元求最值并检验取等。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷文-20 解-利润建模最值
• 2014-上海卷文-21 解-广告牌测角
• 2015-上海卷文-21 解-函数建模