2012-天津卷文-02 单-线性规划最值

本题导读

本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，以及目标函数的最值。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(文)） 设变量 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}2x+y-2⩾0,\\ x-2y+4⩾0,\\ x-1⩽0,\end{array}$ 则目标函数 $z=3x-2y$ 的最小值为()

A. $-5$　　　　　　　B. $-4$　　　　　　　C. $-2$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

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可行域为三角形，顶点 $(0,2)$、$(1,0)$、$(1,\frac{5}{2})$，$z=3x-2y$ 在 $(0,2)$ 取最小值 $-4$，选 B。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

三条边界两两相交：$2x+y=2$ 与 $x-2y+4=0$ 交于 $(0,2)$；$2x+y=2$ 与 $x=1$ 交于 $(1,0)$；$x-2y+4=0$ 与 $x=1$ 交于 $\left(1,\frac{5}{2}\right)$。

逐点验证均满足三条约束，故可行域是以这三点为顶点的三角形。

代入目标函数：$z(0,2)=-4$，$z(1,0)=3$，$z\left(1,\frac{5}{2}\right)=3-5=-2$。

故最小值为 $-4$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划的顶点法

核心方法：求边界交点得顶点，代值比较目标函数

避坑指南：$z=3x-2y$ 中 $y$ 的系数为负，截距最大对应 $z$ 最小，方向别搞反；交点必须逐个检验是否落在可行域内。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划最值入口题，天津卷连年考查，与 2013 年天津卷文第 2 题、2014 年天津卷文第 2 题同族。

结论推广：目标函数 $z=ax+by$（$b<0$）的最值与直线 $ax+by-z=0$ 的截距方向相反：$z$ 最小对应截距 $-\frac{z}{b}$ 最大。

方法推广：三步：画可行域 → 定顶点 → 代值比较；三条约束的交点至多三个，逐一验证取舍。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

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