2012-安徽卷文-09 单-直线与圆位置关系定参

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系。

📌【题干】

Question

（2012年安徽卷(文)） 若直线 $x-y+1=0$ 与圆 $(x-a{)}^2+y^2=2$ 有公共点，则实数 $a$ 的取值范围是()

A. $[-3,-1]$　　　B. $[-1,3]$　　　C. $[-3,1]$　　　D. $(-\infty ,-3]\cup [1,+\infty )$

🔍【思路分析】

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$\frac{|a+1|}{\sqrt{2}}⩽\sqrt{2}\Rightarrow |a+1|⩽2\Rightarrow -3⩽a⩽1$，选 C。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

圆心 $(a,0)$，半径 $r=\sqrt{2}$。

直线与圆有公共点 $⟺d⩽r$，其中圆心到直线 $x-y+1=0$ 的距离

$d=\frac{|a-0+1|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{|a+1|}{\sqrt{2}}$。

由 $\frac{|a+1|}{\sqrt{2}}⩽\sqrt{2}$ 得 $|a+1|⩽2$，即 $-2⩽a+1⩽2$，$-3⩽a⩽1$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆位置关系的判定（$d$ 与 $r$ 比较）；含参点到直线距离

核心方法：“有公共点”化为 $d⩽r$，解含绝对值不等式

避坑指南：半径是 $\sqrt{2}$，两边乘 $\sqrt{2}$ 后为 $|a+1|⩽2$，别把 $r$ 当成 $2$；(D) 是”无公共点”（相离）的范围，方向弄反就选错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与圆位置关系定参题，与 2013 年陕西卷文第 8 题、2014 年安徽卷文第 6 题同族。

结论推广：直线 $Ax+By+C=0$ 与圆 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$：相交/相切 $⟺\sqrt{A^2+B^2}r⩾|Aa+Bb+C|$。

方法推广：位置关系定参一律用距离判别式 $d⩽r$（或 $d=r$），避免联立判别式的繁琐运算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷文-08 单-直线与圆位置关系
• 2014-安徽卷文-06 单-直线与圆
• 2012-湖北卷文-05 单-直线与圆面积差