2012-新课标卷文-14 填-等比数列公比

本题导读

本题考查等比数列的前项和，以及公比。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(文)） 等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $S_3+3S_2=0$，则公比 $q=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$a_1\left[(1+q+q^2)+3(1+q)\right]=0$，$q^2+4q+4=0$，$q=-2$。

✅【答案】

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$-2$

✍【详细解析】

Abstract

$S_3=a_1(1+q+q^2)$，$S_2=a_1(1+q)$（$q\ne 1$）。

$a_1\left[(1+q+q^2)+3(1+q)\right]=a_1\left(q^2+4q+4\right)=a_1(q+2{)}^2=0$

等比数列 $a_1\ne 0$，故 $(q+2{)}^2=0$，$q=-2$（$q=-2\ne 1$ 合题）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列求和公式；公比的求解

核心方法：用 $q$ 表示 $S_2,S_3$ → 整理成关于 $q$ 的方程

避坑指南：①公式选带 $q\ne 1$ 的那套，$q=1$ 代入检验不成立；②完全平方 $(q+2{)}^2=0$ 只有二重根，别写成 $q=\pm 2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列前 $n$ 项和条件题，与 2013 年北京卷文第 11 题、2015 年浙江卷文第 10 题同族。

结论推广：一般地，$S_m+k{S}_n=0$ 型条件，用 $a_1$ 与 $q$ 展开，约去 $a_1$ 得 $q$ 的方程。

方法推广：等比数列条件小题：一切用 $a_1,q$ 表达，约元后解方程，最后代回检验 $q\ne 1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-11 填-等比数列求和
• 2015-浙江卷文-10 填-等差等比