2012-福建卷文-09 单-分段函数复合求值

本题导读

本题考查分段函数，以及函数的复合。

📌【题干】

Question

（2012年福建卷(文)） 设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x>0,\\ 0,& x=0,\\ -1,& x<0,\end{array}$　$g(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\text{ 为有理数},\\ 0,& x\text{ 为无理数},\end{array}$　则 $f(g(\pi ))$ 的值为()

A. $1$　　　　　　　B. $0$　　　　　　　C. $-1$　　　　　　　D. $\pi$

🔍【思路分析】

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$g(\pi )=0$（$\pi$ 为无理数），$f(0)=0$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

$\pi$ 是无理数，由 $g$ 的定义知 $g(\pi )=0$。

再由 $f$ 的定义，$f(0)=0$（$x=0$ 对应中间段）。

故 $f(g(\pi ))=0$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数求值；复合函数由内向外逐层代入

核心方法：先算内层 $g(\pi )$，再以该值为自变量代入 $f$

避坑指南：$f$ 在 $x=0$ 处有专门定义（取 $0$），别套用 $x>0$ 或 $x<0$ 段；“由内向外”是复合函数求值的固定次序。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分段复合函数求值题，与 2014 年福建卷理第 7 题、2014 年新课标Ⅰ文第 15 题同族。

结论推广：狄利克雷型函数 $g$：有理数处取 $1$、无理数处取 $0$；$\pi$、$\sqrt{2}$、$\mathrm{e}$ 均为无理数。

方法推广：分段函数题先把定义域分段抄清，代入前先判断自变量落在哪一段。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷理-07 单-分段函数的解析式与图象
• 2014-新课标I卷文-15 填-分段函数不等式
• 2013-新课标I卷文-12 单-分段函数恒成立