2012-重庆卷文-13 填-余弦定理与正弦定理

本题导读

本题考查余弦定理，以及正弦定理。

📌【题干】

Question

（2012年重庆卷(文)） 设 $△ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，且 $a=1$，$b=2$，$\cos C=\frac{1}{4}$，则 $\sin B=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=4\Rightarrow c=2$；$\sin B=\frac{b\sin C}{c}$。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{15}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

由余弦定理：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=1+4-2\times 1\times 2\times \frac{1}{4}=4$，故 $c=2$。

由 $\cos C=\frac{1}{4}$ 且 $C\in (0,\pi )$，得 $\sin C=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$。

由正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，得 $\sin B=\frac{b\sin C}{c}=\frac{2\times \frac{\sqrt{15}}{4}}{2}=\frac{\sqrt{15}}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦定理求第三边；正弦定理的边角互化

核心方法：已知两边与夹角余弦 $\Rightarrow$ 余弦定理求第三边 $\Rightarrow$ 正弦定理把角化边

避坑指南：$\cos C=\frac{1}{4}>0$ 说明 $C$ 为锐角，开方取正；求 $\sin B$ 时别把 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ 的对应边写反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形给值求值题，与 2012 年福建卷文第 13 题、2013 年上海卷文第 5 题同族。

结论推广：两边 $a$，$b$ 与夹角余弦 $\cos C$ 已知时，$c^2=(a-b{)}^2+2ab(1-\cos C)$，可减少一次乘法；$\sin B$ 也可由面积关系 $ab\sin C=bc\sin A$ 间接得到。

方法推广：解三角形按”已知什么 → 缺什么 → 用哪个定理”三问推进，边角混用时先统一成边（或统一成角）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2012-福建卷文-13 填-正弦定理求边
• 2013-上海卷文-05 填-余弦定理求角
• 2012-天津卷文-16 解-正余弦定理与二倍角