2012-重庆卷文-18 解-相互独立事件概率

本题导读

本题考查相互独立事件的概率。

📌【题干】

Question

（2012年重庆卷(文)） 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球. 约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球 $3$ 次时投篮结束. 设甲每次投篮投中的概率为 $\frac{1}{3}$，乙每次投篮投中的概率为 $\frac{1}{2}$，且各次投篮互不影响.

(1)求乙获胜的概率；

(2)求投篮结束时乙只投了 $2$ 个球的概率.

🔍【思路分析】

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乙获胜 $=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}+{\left(\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}\right)}^2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}+\cdots$，注意甲先投；乙只投 $2$ 球分”乙第二次投中”与”甲第三次投中”两类。

✅【答案】

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(1)$\frac{13}{27}$；(2)$\frac{4}{27}$

✍【详细解析】

Abstract

记甲投中概率 $\frac{1}{3}$、投失 $\frac{2}{3}$；乙投中 $\frac{1}{2}$、投失 $\frac{1}{2}$。

（1）乙获胜分三类（互斥）：

① 甲第一次投失、乙第一次投中：$\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{3}$；

② 甲乙第一次均投失、甲第二次投失、乙第二次投中：$\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{9}$；

③ 前两轮甲乙均投失、甲第三次投失、乙第三次投中：${\left(\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\right)}^2\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{27}$。

所求概率 $P=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}=\frac{13}{27}$。

（2）“乙只投了 $2$ 个球”时投篮结束，分两类：

① 乙第二次投中（此时甲投了 $2$ 次、乙投了 $2$ 次）：前一轮甲乙均投失，甲第二次投失，乙第二次投中，概率 $\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{9}$；

② 甲第三次投中（此时甲投了 $3$ 次、乙投了 $2$ 次）：前两轮甲乙均投失，甲第三次投中，概率 ${\left(\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\right)}^2\times \frac{1}{3}=\frac{1}{27}$。

所求概率 $P=\frac{1}{9}+\frac{1}{27}=\frac{4}{27}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：独立事件概率的乘法公式；互斥事件概率的加法公式

核心方法：按”谁在第几投结束”分类，每类写成一条独立事件链，最后相加

避坑指南：甲先投是关键：乙获胜的每一类都必须以”甲投失”开头；第（2）问”乙只投 $2$ 球”包含”甲第三次投中结束”这种甲获胜的情形，漏掉它只得 $\frac{1}{9}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：轮流试验的独立事件概率题，与 2013 年大纲卷文第 20 题、2014 年大纲卷文第 20 题同族。

结论推广：若试验不限次数，乙最终获胜的概率为 $\frac{\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}}{1-\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$（无穷等比求和）；本题限制”各投 $3$ 次”后需按类列举。

方法推广：概率解答题先画”投篮顺序表”（甲乙甲乙甲乙），把每类的投篮序列写清楚再算，序列写对则计算几乎不会错。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-20 解-独立事件概率
• 2014-大纲卷文-20 解-独立事件概率
• 2013-大纲卷理-20 解-相互独立事件