2013-上海卷理-12 填-函数奇偶性

本题导读

本题考查函数的基本性质，以及奇偶性。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(理)） 设 $a$ 为实常数，$y=f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数.当 $x<0$ 时，$f(x)=9x+\frac{a^2}{x}+7$.若 $f(x)\ge a+1$ 对一切 $x\ge 0$ 成立，则 $a$ 的取值范围为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用奇函数性质处理 $x=0$：
   • 奇函数在原点有定义，则必有 $f(0)=0$。
   • 由 $f(0)\ge a+1$ 可得第一个约束条件：$0\ge a+1⟹a\le -1$。
2. 求出 $x>0$ 时的解析式：
   • 利用奇函数定义 $f(x)=-f(-x)$。
   • 当 $x>0$ 时，$-x<0$，代入已知部分解析式并加负号，得到 $x>0$ 时的解析式。
3. 求解最小值：
   • 观察 $x>0$ 时的解析式结构（对勾函数形式），利用均值不等式 $m+n\ge 2\sqrt{mn}$ 求出其在 $(0,+\infty )$ 上的最小值。
4. 建立恒成立不等式：
   • 使 $f(x)$ 的最小值大于等于 $a+1$。
   • 联立 $a\le -1$ 的条件，通过绝对值不等式的分类讨论求出 $a$ 的最终范围。

✅【答案】

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$(-\infty ,-\frac{8}{7}]$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析 $x=0$ 的情况 因为 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，所以 $f(0)=0$。 已知 $f(x)\ge a+1$ 对一切 $x\ge 0$ 成立，则当 $x=0$ 时： $0\ge a+1⟹a\le -1$

第二步：求 $x>0$ 时的解析式 当 $x>0$ 时，$-x<0$。 $f(-x)=9(-x)+\frac{a^2}{-x}+7=-9x-\frac{a^2}{x}+7$ 根据奇函数定义 $f(x)=-f(-x)$，得： $f(x)=-(-9x-\frac{a^2}{x}+7)=9x+\frac{a^2}{x}-7$

第三步：利用均值不等式求最小值 当 $x>0$ 时，$9x>0$ 且 $\frac{a^2}{x}\ge 0$。 若 $a=0$，$f(x)=9x-7$，在 $x\to 0^{+}$ 时极限为 $-7$，不满足恒大于 $0+1$（舍去，或由后面公式统一涵盖）。 若 $a\ne 0$，根据均值不等式： $9x+\frac{a^2}{x}\ge 2\sqrt{9x\cdot \frac{a^2}{x}}=2\sqrt{9a^2}=6|a|$ 当且仅当 $9x=\frac{a^2}{x}$ 即 $x=\frac{|a|}{3}$ 时取等号。 故 $f(x{)}_{\min }=6|a|-7$。

第四步：解关于 $a$ 的不等式 要使 $f(x)\ge a+1$ 在 $x>0$ 恒成立，需满足： $6|a|-7\ge a+1⟹6|a|-a\ge 8$ 结合第一步中 $a\le -1$，此时 $|a|=-a$： $6(-a)-a\ge 8⟹-7a\ge 8⟹a\le -\frac{8}{7}$

由于 $a\le -8/7$ 已包含在 $a\le -1$ 的范围内，故最终范围为 $a\in (-\infty ,-8/7]$。

故填入答案为：$(-\infty ,-\frac{8}{7}]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇函数定义的应用；对勾函数 $x+\frac{k}{x}$ 的最值。

核心方法：“先局部后整体”。先看特殊点 $x=0$ 定范围，再看区间 $x>0$ 定最值。

避坑指南：- 容易忘记 $f(0)=0$ 的隐含条件。 - 在去掉绝对值号时，必须结合前面已求得的 $a\le -1$。 - 注意均值不等式取等号的条件 $x=|a|/3$ 是否在定义域 $(0,+\infty )$ 内（由于 $|a|\ge 1$，成立）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对勾函数 $y=ax+\frac{b}{x}$ 的单调性（增区间为 $[\sqrt{b/a},+\infty )$）、绝对值不等式的解法。

结论推广：此类题目的通法是“最值法”，即将恒成立不等式 $f(x)\ge k$ 转化为 $f(x{)}_{\min }\ge k$。

方法推广：“先局部后整体”。先看特殊点 $x=0$ 定范围，再看区间 $x>0$ 定最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 05.03 专题-恒成立问题
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2026-上海卷-05 填-函数奇偶性
• 2015-福建卷文-03 单-函数奇偶性
• 2015-广东卷文-03 单-函数奇偶性