2013-四川卷理-11 填-二项式通项

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2013年四川卷(理)） 二项式 $(x+y{)}^5$ 的展开式中，含 $x^2{y}^3$ 的项的系数是 $\underline{}$.（用数字作答）

🔍【思路分析】

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1. 回顾公式：二项式 $(a+b{)}^n$ 展开式的通项公式为 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。
2. 匹配参数：在本题中，$a=x$，$b=y$，$n=5$。
3. 确定 r 值：观察目标项 $x^2{y}^3$，对比通项公式中的指数，可知 $r=3$（此时 $n-r=5-3=2$，刚好对应 $x^2$）。
4. 计算系数：代入组合数公式 $C_n^r$ 进行计算。

✅【答案】

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10

✍【详细解析】

Abstract

第一步：写出通项公式 对于二项式 $(x+y{)}^5$，其通项公式为： $T_{r+1}=C_5^r{x}^{5-r}{y}^r$

第二步：锁定目标项 题目要求含 $x^2{y}^3$ 的项，令 $y$ 的指数 $r=3$。 此时 $x$ 的指数为 $5-3=2$，符合要求。

第三步：提取并计算系数 该项的系数即为组合数 $C_5^3$。 根据组合数性质 $C_n^r=C_n^{n-r}$，有： $C_5^3=C_5^2=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10$

故填入答案为：10。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：准确记忆并应用二项式通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。

核心方法：“指数对应法”。通过观察目标项中各字母的幂次，快速锁定通项公式中的 $r$ 值。

避坑指南：虽然本题系数简单，但在处理如 $(ax+by{)}^n$ 形式时，系数不仅包含组合数，还包含 $a^{n-r}$ 和 $b^r$ 的数值乘积，需格外小心。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：组合数的性质、杨辉三角。

结论推广：二项式 $(x+y{)}^n$ 展开式中，所有项的系数之和为 $2^n$。

方法推广：对于次数较小的二项式，也可以直接通过**帕斯卡三角形（杨辉三角）**的第 $n+1$ 行直接读出系数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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