2013-大纲卷文-18 解-解三角形求角

本题导读

本题考查余弦定理。核心在于平方差配方、积化和差化角差的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(文)） 设 $△ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，$(a+b+c)(a-b+c)=ac$.

(1)求 $B$；

(2)若 $\sin A\sin C=\frac{\sqrt{3}-1}{4}$，求 $C$.

🔍【思路分析】

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1. $(a+b+c)(a-b+c)=(a+c{)}^2-b^2=2ac(1+\cos B)=ac$，得 $\cos B=-\frac{1}{2}$，$B=\frac{2\pi }{3}$。
2. $A+C=\frac{\pi }{3}$；$\sin A\sin C=\frac{\cos (A-C)-\frac{1}{2}}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{4}$，得 $\cos (A-C)=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
3. $-\frac{\pi }{3}<A-C<\frac{\pi }{3}$，故 $A-C=\pm \frac{\pi }{6}$，$C=\frac{\pi }{12}$ 或 $\frac{\pi }{4}$。

✅【答案】

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(1) $B=\frac{2\pi }{3}$；(2) $C=\frac{\pi }{12}$ 或 $C=\frac{\pi }{4}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $(a+b+c)(a-b+c)=(a+c{)}^2-b^2=a^2+2ac+c^2-b^2.$ 代入余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$： $a^2+2ac+c^2-a^2-c^2+2ac\cos B=2ac(1+\cos B).$ 由题设 $2ac(1+\cos B)=ac$，而 $a>0$，$c>0$，所以 $1+\cos B=\frac{1}{2}⟹\cos B=-\frac{1}{2}.$ 又 $0<B<\pi$，故 $B=\frac{2\pi }{3}$。 (2) 由 (1)，$A+C=\frac{\pi }{3}$。由积化和差公式， $\sin A\sin C=\frac{\cos (A-C)-\cos (A+C)}{2}=\frac{\cos (A-C)-\frac{1}{2}}{2}.$ 由题设 $\frac{\cos (A-C)-\frac{1}{2}}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{4}⟹\cos (A-C)=\frac{\sqrt{3}}{2}.$ 因为 $A+C=\frac{\pi }{3}$，$A>0$，$C>0$，所以 $-\frac{\pi }{3}<A-C<\frac{\pi }{3}$，于是 $A-C=\pm \frac{\pi }{6}.$ 当 $A-C=\frac{\pi }{6}$ 时，$C=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\pi }{12}$；当 $A-C=-\frac{\pi }{6}$ 时，$C=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\pi }{4}$。 所以 $C=\frac{\pi }{12}$ 或 $C=\frac{\pi }{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦定理与积化和差

核心方法：$(a+b+c)(a-b+c)=(a+c{)}^2-b^2=2ac(1+\cos B)$ 化简求 $B$；再用积化和差求 $C$

避坑指南：第一问别硬展开：$(a+b+c)(a-b+c)=(a+c{)}^2-b^2$ 再代余弦定理一步到位；第二问 $\sin A\sin C$ 用积化和差化为 $\cos (A-C)$，注意 $A-C$ 的范围限定 $\pm \frac{\pi }{6}$ 两解都要。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形与三角恒等变换（全国卷必考）。

结论推广：余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$；积化和差 $\sin A\sin C=\frac{\cos (A-C)-\cos (A+C)}{2}$。

方法推广：解三角形两条路：条件含边的乘积结构 → 配方后用余弦定理；条件含 $\sin A\sin C$ → 积化和差转角差，并先写角的范围再开方。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-18 解-解三角形求角
• 2014-大纲卷理-17 解-正弦定理