2013-天津卷文-13 填-切割线定理求弦

本题导读

本题考查切割线定理，以及弦切角定理。

📌【题干】

Question

（2013年天津卷(文)） 如图，在圆内接梯形 $ABCD$ 中，$AB\parallel DC$，过点 $A$ 作圆的切线与 $CB$ 的延长线交于点 $E$. 若 $AB=AD=5$，$BE=4$，则弦 $BD$ 的长为 　　.

🔍【思路分析】

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1. 圆内接梯形 $AB\parallel DC$ → 等腰梯形 → $BC=AB=5$，$EC=EB+BC=9$。
2. 切割线定理：$E{A}^2=EB\cdot EC=4\times 9=36$ → $EA=6$。
3. 弦切角：$\angle EAB=\angle ADB$；$△ABE$ 中 $\cos \angle EAB=\frac{25+36-16}{2\times 5\times 6}=\frac{3}{4}$ → $\cos \angle ADB=\frac{3}{4}$。
4. $AB=AD=5$ → $\angle ABD=\angle ADB$，$\cos \angle BAD=-\cos 2\angle ADB=-\frac{1}{8}$。
5. $B{D}^2=25+25-2\times 5\times 5\times \left(-\frac{1}{8}\right)=\frac{225}{4}$ → $BD=\frac{15}{2}$。

✅【答案】

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$\frac{15}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：定 $EC$。 梯形 $ABCD$ 内接于圆且 $AB\parallel DC$，由”圆内接梯形是等腰梯形”得 $AD=BC$。又 $AB=AD=5$，故 $BC=5,EC=EB+BC=4+5=9.$ 第二步：切割线定理求 $EA$。 $EA$ 是切线、$EBC$ 是割线，由切割线定理 $E{A}^2=EB\cdot EC=4\times 9=36\Rightarrow EA=6.$ 第三步：弦切角定理把角搬到 $△ABD$。 由弦切角定理，弦切角等于它所夹弧所对的圆周角： $\angle EAB=\angle ADB.$ 在 $△ABE$ 中，$AB=5$，$BE=4$，$AE=6$，由余弦定理 $\cos \angle EAB=\frac{A{B}^2+A{E}^2-B{E}^2}{2\cdot AB\cdot AE}=\frac{25+36-16}{2\times 5\times 6}=\frac{45}{60}=\frac{3}{4}.$ 所以 $\cos \angle ADB=\frac{3}{4}$。 第四步：在 $△ABD$ 中用余弦定理。 因 $AB=AD=5$，故 $\angle ABD=\angle ADB$，且 $\angle BAD=180^{\circ }-2\angle ADB.$ 由 $\cos \angle ADB=\frac{3}{4}$ 得 $\cos 2\angle ADB=2\times \frac{9}{16}-1=\frac{1}{8}$，于是 $\cos \angle BAD=-\cos 2\angle ADB=-\frac{1}{8}.$ 再由余弦定理 $B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos \angle BAD=25+25-2\times 5\times 5\times \left(-\frac{1}{8}\right)=50+\frac{25}{4}=\frac{225}{4},$ 故 $BD=\frac{15}{2}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：切割线定理与弦切角定理

核心方法：圆内接梯形 $AB\parallel DC$ → 等腰梯形 $BC=AB=5$；切割线定理 $E{A}^2=EB\cdot EC=4\times (4+5)=36$ → $EA=6$；弦切角 $\angle EAB=\angle ADB$，$△ABE$ 中 $\cos \angle EAB=\frac{A{B}^2+A{E}^2-B{E}^2}{2\cdot AB\cdot AE}=\frac{3}{4}$ → $\cos \angle ADB=\frac{3}{4}$；$△ABD$ 中 $AB=AD=5$，$\cos \angle BAD=-\cos 2\angle ADB=-\frac{1}{8}$ → $B{D}^2=50-50\times \left(-\frac{1}{8}\right)=\frac{225}{4}$ → $BD=\frac{15}{2}$

避坑指南：三件套：① 圆内接梯形 $AB\parallel CD$ ⇒ 等腰梯形 → $BC=AB=5$（这一步决定了 $EC=9$）；② 切割线定理 $E{A}^2=EB\cdot EC$；③ 弦切角定理 $\angle EAB=\angle ADB$ 把已知角搬到目标三角形 $△ABD$ 里。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：切割线定理、弦切角定理与圆内接梯形的性质。

结论推广：切割线定理；弦切角定理；余弦定理解三角形。

方法推广：等腰梯形定 $BC$ → 切割线定理求 $EA$ → 弦切角搬角 → 余弦定理求 $BD$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷文-07 单-圆内接三角形
• 2013-辽宁卷文-22 解-几何证明选讲
• 2013-新课标I卷文-22 解-几何证明选讲