2013-安徽卷文-01 单-复数纯虚数

本题导读

本题考查复数的四则运算，以及纯虚数的概念。

📌【题干】

Question

（2013年安徽卷(文)） 设 $i$ 是虚数单位，若复数 $a-\frac{10}{3-i}$（$a\in \mathbf{R}$）是纯虚数，则 $a$ 的值为()

A. $-3$　　　　　　　B. $-1$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\frac{10}{3-i}=\frac{10(3+i)}{(3-i)(3+i)}=\frac{10(3+i)}{10}=3+i$。
2. $z=a-3-i$，纯虚数 $\Rightarrow$ 实部 $a-3=0$（虚部 $-1\ne 0$ 自动满足）。
3. $a=3$。

✅【答案】

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（D）

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{10}{3-i}=\frac{10(3+i)}{(3+i)(3-i)}=\frac{10(3+i)}{9+1}=3+i$， 故 $z=a-3-i$。 $z$ 为纯虚数，则实部为零且虚部不为零： $a-3=0且-1\ne 0,$ 解得 $a=3$（此时 $z=-i$，确为纯虚数）。 选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：纯虚数的概念与复数除法

核心方法：$\frac{10}{3-i}=\frac{10(3+i)}{10}=3+i$，$a-3-i$ 为纯虚数 $\iff a-3=0$ 且 $-1\ne 0$

避坑指南：纯虚数要求实部为零且虚部不为零——只令实部为零就够了（虚部 $-1$ 已非零）；先分母实数化再分离实虚部，别直接令 $a=0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数的除法与纯虚数概念（安徽卷首题常规考法）。

结论推广：分母实数化：$\frac{1}{3-i}=\frac{3+i}{(3-i)(3+i)}=\frac{3+i}{10}$；纯虚数 $bi$（$b\ne 0$）。

方法推广：除法实数化 → 写成 $x+yi$ → 令实部为零、验虚部非零。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-安徽卷文-01 单-复数运算
• 2014-北京卷文-09 填-复数运算
• 2014-广东卷文-02 单-复数运算