2013-安徽卷文-11 填-函数定义域

本题导读

本题考查函数的定义域，以及分式不等式。

📌【题干】

Question

（2013年安徽卷(文)） 函数 $y=\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)+\sqrt{1-x^2}$ 的定义域为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $1+\frac{1}{x}>0\Rightarrow \frac{x+1}{x}>0\Rightarrow x>0$ 或 $x<-1$。
2. $1-x^2⩾0\Rightarrow -1⩽x⩽1$。
3. 交集：$(0,1]$。

✅【答案】

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$(0,1]$

✍【详细解析】

Abstract

要使函数有意义，需 $\{\begin{array}{l}1+\frac{1}{x}>0,\\ 1-x^2⩾0.\end{array}$ 第一个：通分 $\frac{x+1}{x}>0$，分子分母同号，即 $x>0$ 或 $x<-1$。 第二个：$-1⩽x⩽1$。 取交集：$(-1,0)$ 段因 $x<-1$ 才满足第一式而被排除（$-1<x<0$ 时 $\frac{x+1}{x}<0$），故定义域为 $(0,1].$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数型与根式复合函数的定义域

核心方法：$1+\frac{1}{x}>0\Rightarrow x>0$ 或 $x<-1$；$1-x^2⩾0\Rightarrow -1⩽x⩽1$；交为 $(0,1]$

避坑指南：$1+\frac{1}{x}>0$ 不能直接去分母——通分成 $\frac{x+1}{x}>0$ 再按”同号得正”解；分母 $x=0$ 要剔除，与 $[-1,1]$ 相交时 $(0,1]$ 的开端别写成闭。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数的定义域（对数 + 根式，安徽卷填空基础题）。

结论推广：对数真数 $>0$；根式被开方数 $⩾0$；分式分母 $\ne 0$。

方法推广：列不等式组 → 分式不等式同号解 → 取交集。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-05 单-函数定义域
• 2013-北京卷文-13 填-分段函数值域