2013-新课标I卷文-20 解-导数单调性与极值

本题导读

本题考查导数的几何意义。核心在于切线条件列方程组、因式分解判号的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(文)） 已知函数 $f(x)={\mathrm{e}}^x(ax+b)-x^2-4x$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程为 $y=4x+4$.

(1)求 $a$、$b$ 的值；

(2)讨论 $f(x)$ 的单调性，并求 $f(x)$ 的极大值.

🔍【思路分析】

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1. 切点 $(0,b)$ 在切线 $y=4x+4$ 上得 $b=4$；再由 $f^{\prime }(0)=4$ 求 $a$。
2. 求导得 $f^{\prime }(x)=(x+2)(4{\mathrm{e}}^x-2)$，由零点 $x=-2$、$x=-\ln 2$ 分段判号。

✅【答案】

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(1)$a=4$，$b=4$ (2)$f(x)$ 在 $(-\infty ,-2)$ 和 $(-\ln 2,+\infty )$ 上单调递增，在 $(-2,-\ln 2)$ 上单调递减；极大值为 $4(1-{\mathrm{e}}^{-2})$

✍【详细解析】

Abstract

（1） $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x(ax+b)+a{\mathrm{e}}^x-2x-4={\mathrm{e}}^x(ax+a+b)-2x-4$。 由切线 $y=4x+4$ 知切点为 $(0,4)$ 且切线斜率为 $4$，故 $f(0)=b=4,f^{\prime }(0)=a+b-4=4.$ 由 $b=4$ 得 $a=4$。

（2） 由（1）得 $f(x)={\mathrm{e}}^x(4x+4)-x^2-4x$，且 $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x(4x+8)-2x-4=4{\mathrm{e}}^x(x+2)-2(x+2)=(x+2)(4{\mathrm{e}}^x-2).$ 令 $f^{\prime }(x)=0$ 得 $x=-2$ 或 $4{\mathrm{e}}^x-2=0$，即 $x=-\ln 2$。 讨论 $f^{\prime }(x)$ 的符号：$x\in (-\infty ,-2)$ 时 $x+2<0$、$4{\mathrm{e}}^x-2<0$，故 $f^{\prime }(x)>0$；$x\in (-2,-\ln 2)$ 时 $x+2>0$、$4{\mathrm{e}}^x-2<0$，故 $f^{\prime }(x)<0$；$x\in (-\ln 2,+\infty )$ 时两因式同为正，$f^{\prime }(x)>0$。 所以 $f(x)$ 在 $(-\infty ,-2)$ 和 $(-\ln 2,+\infty )$ 上单调递增，在 $(-2,-\ln 2)$ 上单调递减。 故 $f(x)$ 在 $x=-2$ 处取得极大值 $f(-2)={\mathrm{e}}^{-2}(-8+4)-4+8=4-4{\mathrm{e}}^{-2}=4(1-{\mathrm{e}}^{-2}).$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义、导数研究单调性与极值

核心方法：切线条件列方程组、因式分解判号

避坑指南：$f^{\prime }(0)$ 是切线斜率；极大值在”由增到减”的转折点取得，本题是 $x=-2$ 而不是 $x=-\ln 2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数的几何意义与单调性、极值综合。

结论推广：$f^{\prime }(x_0)=k$ 与 $f(x_0)$ 等于切线在该点的纵坐标，两个条件定两个参数。

方法推广：含 ${\mathrm{e}}^x$ 的导数题，提公因式后常可分解出一次因式，判号就转化为两因式同异号。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-21 解-导数综合
• 2014-新课标I卷文-21 解-导数存在性