2013-新课标II卷文-23 解-参数方程

本题导读

本题考查参数方程与普通方程的互化。核心在于参数法、二倍角公式化简距离的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(文)） （选修 4-4：坐标系与参数方程）已知动点 $P$，$Q$ 都在曲线 $C:\{\begin{array}{l}x=2\cos t,\\ y=2\sin t,\end{array}$（$t$ 为参数）上，对应参数分别为 $t=\alpha$ 与 $t=2\alpha$（$0<\alpha <2\pi$），$M$ 为 $PQ$ 的中点.

(1)求 $M$ 的轨迹的参数方程；

(2)将 $M$ 到坐标原点的距离 $d$ 表示为 $\alpha$ 的函数，并判断 $M$ 的轨迹是否过坐标原点.

🔍【思路分析】

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1. $P(2\cos \alpha ,2\sin \alpha )$，$Q(2\cos 2\alpha ,2\sin 2\alpha )$。
2. 中点公式得 $x=\cos \alpha +\cos 2\alpha$，$y=\sin \alpha +\sin 2\alpha$。
3. $d^2=x^2+y^2$ 用 $\cos \alpha$ 表示，再判断 $d=0$ 是否有解。

✅【答案】

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(1)$\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha +\cos 2\alpha ,\\ y=\sin \alpha +\sin 2\alpha ,\end{array}$（$0<\alpha <2\pi$） (2)$d=2\left|\cos \frac{\alpha }{2}\right|$，$M$ 的轨迹过坐标原点

✍【详细解析】

Abstract

（1） 由参数方程， $P(2\cos \alpha ,2\sin \alpha ),Q(2\cos 2\alpha ,2\sin 2\alpha ).$ 设 $M(x,y)$，因为 $M$ 是 $PQ$ 的中点，所以 $\{\begin{array}{l}x=\frac{2\cos \alpha +2\cos 2\alpha }{2}=\cos \alpha +\cos 2\alpha ,\\ y=\frac{2\sin \alpha +2\sin 2\alpha }{2}=\sin \alpha +\sin 2\alpha ,\end{array}(0<\alpha <2\pi ).$ 利用和差化积也可写成 $\{\begin{array}{l}x=2\cos \frac{3\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2},\\ y=2\sin \frac{3\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2},\end{array}(0<\alpha <2\pi ).$ （2） 由（1） $d^2=x^2+y^2={\left(\cos \alpha +\cos 2\alpha \right)}^2+{\left(\sin \alpha +\sin 2\alpha \right)}^2.$ 展开： $d^2={\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha +{\cos }^{2}2\alpha +{\sin }^{2}2\alpha +2(\cos \alpha \cos 2\alpha +\sin \alpha \sin 2\alpha )=2+2\cos (2\alpha -\alpha )=2+2\cos \alpha .$ 又 $1+\cos \alpha =2{\cos }^2\frac{\alpha }{2}$，所以 $d^2=2(1+\cos \alpha )=4{\cos }^2\frac{\alpha }{2}.$ 因为 $d⩾0$，故 $d=2\left|\cos \frac{\alpha }{2}\right|.$ 当 $0<\alpha <2\pi$ 时，$0<\frac{\alpha }{2}<\pi$，$d=0$ 等价于 $\cos \frac{\alpha }{2}=0$，即 $\frac{\alpha }{2}=\frac{\pi }{2}$，$\alpha =\pi$。 此时 $P(2\cos \pi ,2\sin \pi )=(-2,0)$，$Q(2\cos 2\pi ,2\sin 2\pi )=(2,0)$，$M(0,0)$ 恰为坐标原点，说明 $d=0$ 可以取到。 所以 $M$ 的轨迹过坐标原点。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：参数方程与普通方程的互化、轨迹的参数方程

核心方法：写出 $P$、$Q$ 坐标后用中点公式得参数方程；距离用 $\cos \alpha$ 的二倍角公式化简

避坑指南：$d^2=x^2+y^2=2+2\cos \alpha =4{\cos }^2\frac{\alpha }{2}$，故 $d=2\left|\cos \frac{\alpha }{2}\right|$——绝对值不能丢；判断轨迹是否过原点即问 $d=0$ 能否取到。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：坐标系与参数方程（选修 4-4）。

结论推广：中点坐标公式：$P(x_1,y_1)$、$Q(x_2,y_2)$ 的中点为 $\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$；$1+\cos \alpha =2{\cos }^2\frac{\alpha }{2}$。

方法推广：求动点轨迹的参数方程两步：把动点坐标用同一参数表示（这里用中点公式），再讨论参数范围。判断”是否过某点”即问对应方程在该点是否有解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

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• 2014-新课标II卷文-23 解-极坐标参数方程
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