2013-新课标II卷理-06 单-程序框图

本题导读

本题考查算法，以及程序框图。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(理)）

1. 执行右面的程序框图，如果输入的 $N=10$，那么输出的 $S=$()

A. $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{10}$　　　　　　B. $1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{10!}$

C. $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{11}$　　　　　　D. $1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{11!}$

🔍【思路分析】

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2. 初始化变量：$k=1,S=0,T=1,N=10$。
3. 模拟循环过程：
   • 关注 $T=\frac{T}{k}$ 的变化，它是项的构造方式。
   • 关注 $S=S+T$ 的变化，它是累加求和过程。
   • 关注 $k=k+1$ 的变化，它是循环控制变量。
4. 寻找规律与终值：判断循环跳出条件 $k>10$ 是否成立。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：第一次循环 $T=\frac{T}{k}=\frac{1}{1}=1$; $S=S+T=0+1=1$; $k=k+1=2$; 判断 $2>10$ 为“否”，继续循环。

第二步：第二次循环 $T=\frac{T}{k}=\frac{1}{2}=\frac{1}{2!}$; $S=S+T=1+\frac{1}{2!}$; $k=k+1=3$; 判断 $3>10$ 为“否”，继续循环。

第三步：第三次循环 $T=\frac{T}{k}=\frac{1/2!}{3}=\frac{1}{3!}$; $S=S+T=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}$; $k=k+1=4$; 判断 $4>10$ 为“否”，继续循环。

第四步：递推至临界状态 依此类推，当 $k=10$ 时，进入循环： $T=\frac{1}{9!}÷10=\frac{1}{10!}$; $S=1+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{10!}$; $k=k+1=11$; 此时判断 $11>10$ 为“是”，跳出循环并输出 $S$。

故输出的 $S=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{10!}$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直到型循环结构（While/Until）中变量的迭代逻辑。

核心方法：列表模拟法。对于循环次数较少或规律明显的框图，写出前三项的演变即可确定通项式。

避坑指南：注意 $k$ 的自增是在 $S$ 的累加之后。在本题中，当 $k=10$ 时，$S$ 累加的是第 10 项，随后 $k$ 变为 11 导致循环结束，因此最后一项是 $\frac{1}{10!}$ 而非 $\frac{1}{11!}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列求和、阶乘符号（$n!=1\times 2\times \cdots \times n$）。!

结论推广：若判断条件改为 $k\ge 10$，则输出结果会停在 $\frac{1}{9!}$。

方法推广：识别 $T=\frac{T}{k}$ 这一步是关键，它揭示了数列的每一项是前一项除以当前的索引，即阶乘的倒数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-07 单-程序框图
• 2015-福建卷文-04 单-程序框图
• 2015-湖南卷文-05 单-程序框图