2013-江西卷理-14 填-抛物线定义

本题导读

本题考查抛物线，以及抛物线的定义与几何性质。

📌【题干】

Question

（2013年江西卷(理)） 抛物线 $x^2=2py$ ($p>0$) 的焦点为 $F$，其准线与双曲线 $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{3}=1$ 相交于 $A,B$ 两点，若 $△ABF$ 为等边三角形，则 $p=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定几何要素：
   • 抛物线 $x^2=2py$ 的焦点为 $F(0,\frac{p}{2})$，准线方程为 $l:y=-\frac{p}{2}$。
   • 焦准距（焦点到准线的距离）为 $\frac{p}{2}-(-\frac{p}{2})=p$。
2. 联立求解交点：
   • 将准线 $y=-\frac{p}{2}$ 代入双曲线方程 $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{3}=1$，求出 $A,B$ 的横坐标。
3. 利用等边三角形性质：
   • $△ABF$ 是以 $AB$ 为底边，焦点 $F$ 为顶点的三角形。
   • 由于 $F$ 在 $y$ 轴上，$AB$ 关于 $y$ 轴对称，故 $△ABF$ 的高即为焦准距 $p$。
   • 利用等边三角形边长 $a$ 与高 $h$ 的关系 $h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$（或底边一半与高的比例）建立等式。

✅【答案】

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6

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定准线方程并求交点。 抛物线 $x^2=2py$ 的准线为 $y=-\frac{p}{2}$。 代入双曲线方程 $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{3}=1$，得： $\frac{x^2}{3}-\frac{(-\frac{p}{2}{)}^2}{3}=1⟹x^2-\frac{p^2}{4}=3⟹x^2=3+\frac{p^2}{4}$ 解得 $x=\pm \sqrt{3+\frac{p^2}{4}}$。 故 $A,B$ 两点的横坐标分别为 $x_A=-\sqrt{3+\frac{p^2}{4}}$, $x_B=\sqrt{3+\frac{p^2}{4}}$。 底边长 $|AB|=x_B-x_A=2\sqrt{3+\frac{p^2}{4}}$。

第二步：利用等边三角形性质建立方程。 在等边 $△ABF$ 中，顶点 $F(0,\frac{p}{2})$ 到边 $AB$（所在直线为 $y=-\frac{p}{2}$）的距离为高 $h$。 $h=\frac{p}{2}-(-\frac{p}{2})=p$。 根据等边三角形性质，高 $h=\frac{\sqrt{3}}{2}|AB|$： $p=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2\sqrt{3+\frac{p^2}{4}}$ $p=\sqrt{3(3+\frac{p^2}{4})}$

第三步：解方程。 两边平方得： $p^2=3(3+\frac{p^2}{4})⟹p^2=9+\frac{3}{4}{p}^2$ $\frac{1}{4}{p}^2=9⟹p^2=36$ 因为 $p>0$，所以 $p=6$。

故填入答案为：6。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线基本性质（焦准距）、双曲线方程的应用、等边三角形的度量性质。 5. 几何直观：理解 $△ABF$ 的对称性。由于 $F$ 在抛物线对称轴上，$AB$ 平行于 $x$ 轴且关于 $y$ 轴对称，$F$ 到 $AB$ 的距离自然就是三角形的高。

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意抛物线开口方向。$x^2=2py$ 开口向上，准线在 $x$ 轴下方。若错记为 $y^2=2px$，则准线会变为垂直线。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线基本性质（焦准距）、双曲线方程的应用、等边三角形的度量性质。 5. 几何直观：理解 $△ABF$ 的对称性。由于 $F$ 在抛物线对称轴上，$AB$ 平行于 $x$ 轴且关于 $y$ 轴对称，$F$ 到 $AB$ 的距离自然就是三角形的高。

结论推广：凡是涉及圆锥曲线与特殊多边形（如等边三角形、正方形）结合的问题，通常利用对称性和几何常数（边高比等）来化简代数运算。

方法推广：坐标法是解决此类问题的通用方法，但结合几何定义（如抛物线上点到焦点距离等于到准线距离）往往有更巧妙的解法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2023-新高考II卷-10 多-抛物线
• 2014-福建卷文-21 解-抛物线
• 2014-湖南卷文-14 填-抛物线