2013-辽宁卷理-18 解-直线与平面垂直判定

本题导读

本题考查直线与平面。核心在于空间向量法、几何法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(理)） 如图，$AB$ 是圆的直径，$PA$ 垂直圆所在的平面，$C$ 是圆上的点.

（I）求证：平面 $PAC\perp$ 平面 $PBC$；

（II）若 $AB=2,AC=1,PA=1$，求二面角 $C-PB-A$ 的余弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（证明面面垂直）：
   • 核心思路是寻找“线面垂直”。由直径所对圆周角知 $AC\perp BC$。
   • 由 $PA\perp$ 面 $ABC$ 知 $PA\perp BC$。
   • 结合 $AC\cap PA=A$，证出 $BC\perp$ 平面 $PAC$，进而得出面面垂直。
2. 第二问（计算二面角）：
   • 空间向量法：以 $C$ 为原点建立空间直角坐标系。求出平面 $BCP$ 和平面 $ABP$ 的法向量，计算法向量夹角的余弦值。注意判定二面角是锐角还是钝角。
   • 几何法：过 $C$ 作 $CM\perp AB$ 于 $M$，过 $M$ 作 $MN\perp PB$ 于 $N$，连接 $CN$。证明 $\angle CNM$ 即为二面角的平面角，在直角三角形中求解。

✅【答案】

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求平面 $BCP$ 的法向量 $\overrightarrow{n_1}$；求平面 $ABP$ 的法向量 $\overrightarrow{n_2}$；计算夹角余弦值

✍【详细解析】

Abstract

（I）证明： 因为 $AB$ 是圆的直径，$C$ 是圆上的点，所以 $AC\perp BC$。 因为 $PA\perp$ 平面 $ABC$，$BC\subset$ 平面 $ABC$，所以 $PA\perp BC$。 又 $PA\cap AC=A$，$PA,AC\subset$ 平面 $PAC$， 所以 $BC\perp$ 平面 $PAC$。 因为 $BC\subset$ 平面 $PBC$， 所以 平面 $PAC\perp$ 平面 $PBC$。

（II）解（向量法）：

在 $Rt△ABC$ 中，$AB=2,AC=1$，由勾股定理得 $BC=\sqrt{A{B}^2-A{C}^2}=\sqrt{3}$。 过 $C$ 作 $CM\parallel AP$，则 $CM\perp$ 平面 $ABC$。 以 $C$ 为坐标原点，$CB,CA,CM$ 分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。 则各点坐标为：$C(0,0,0),A(0,1,0),B(\sqrt{3},0,0),P(0,1,1)$。

• 求平面 $BCP$ 的法向量 $\overrightarrow{n_1}$： $\overrightarrow{CB}=(\sqrt{3},0,0),\overrightarrow{CP}=(0,1,1)$。 设 $\overrightarrow{n_1}=(x,y,z)$，则 $\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x=0\\ y+z=0\end{array}$。令 $y=1$，得 $\overrightarrow{n_1}=(0,1,-1)$。
• 求平面 $ABP$ 的法向量 $\overrightarrow{n_2}$： $\overrightarrow{AP}=(0,0,1),\overrightarrow{AB}=(\sqrt{3},-1,0)$。 设 $\overrightarrow{n_2}=(x,y,z)$，则 $\{\begin{array}{l}z=0\\ \sqrt{3}x-y=0\end{array}$。令 $x=1$，得 $\overrightarrow{n_2}=(1,\sqrt{3},0)$。
• 计算夹角余弦值： $\cos ⟨\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}⟩=\frac{\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{0+\sqrt{3}+0}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$ 由图可知二面角 $C-PB-A$ 为锐角，故其余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直、面面垂直的转化；空间向量法求二面角。

核心方法：“线线垂直 $⟹$ 线面垂直 $⟹$ 面面垂直” 是立体几何证明的通用链路。

避坑指南：第一问中，由直径得垂直是隐含条件，必须明确写出；第二问求法向量时，坐标计算务必细心。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：空间两点距离公式、点到平面的距离（向量法）。

结论推广：若三条侧棱两两垂直（如长方体角），则坐标系建立最简便。

方法推广：几何法求二面角时，三垂线定理是找平面角的最常用工具。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-17 解-线面垂直面面垂直
• 2015-山东卷文-18 解-线面平行与垂直
• 2014-四川卷文-18 解-线面垂直与平行