2013-陕西卷理-08 单-分段函数

本题导读

本题考查函数的概念，以及分段函数。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(理)） 设函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}(x-\frac{1}{x}{)}^4,& x<0\\ -\sqrt{x},& x\ge 0\end{array}$，则当 $x>0$ 时，$f[f(x)]$ 表达式的展开式中常数项为()

A. $-20$　　　　　　B. $20$　　　　　　C. $-15$　　　　　　D. $15$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求解复合函数 $f[f(x)]$：
   • 题目给定 $x>0$，首先计算内层函数 $f(x)$。根据分段函数定义，当 $x>0$ 时，$f(x)=-\sqrt{x}$。
   • 观察内层函数的值域：因为 $x>0$，所以 $f(x)=-\sqrt{x}<0$。
   • 计算外层函数：将内层结果代入 $f[f(x)]$。由于自变量 $f(x)<0$，应代入分段函数的第一段 $(x-\frac{1}{x}{)}^4$。
2. 应用二项式定理：
   • 得到 $f[f(x)]$ 的具体表达式。
   • 利用二项展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 寻找常数项。
   • 令 $x$ 的指数为 $0$，解出 $r$，计算系数值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定复合函数表达式 已知 $x>0$：

1. 内层：$f(x)=-\sqrt{x}$。
2. 此时内层函数值 $f(x)<0$。
3. 外层：$f[f(x)]$ 需代入分段函数中 $x<0$ 的部分： $f[f(x)]={\left(f(x)-\frac{1}{f(x)}\right)}^4$ 代入 $f(x)=-\sqrt{x}$： $f[f(x)]={\left(-\sqrt{x}-\frac{1}{-\sqrt{x}}\right)}^4={\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}\right)}^4$ 注：原解析图示中幂次为 6，根据 2013 陕西真题题干应为 4 或由计算结果反推。若选项中有 15，则幂次为 6（$C_6^3=20$）。按图中解析逻辑重新计算如下： 若表达式为 ${\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}\right)}^6$：

第二步：求展开式常数项 设该二项式为 $(a+b{)}^n$，其中 $a=x^{-1/2},b=-x^{1/2},n=6$。 通项公式 $T_{r+1}=C_6^r\cdot (x^{-1/2}{)}^{6-r}\cdot (-x^{1/2}{)}^r$ $T_{r+1}=C_6^r\cdot (-1{)}^r\cdot x^{\frac{r-6}{2}}\cdot x^{\frac{r}{2}}=C_6^r\cdot (-1{)}^r\cdot x^{r-3}$

令 $x$ 的幂指数为 $0$： $r-3=0⟹r=3$ 代入计算常数项： $T_4=C_6^3\cdot (-1{)}^3=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}\times (-1)=20\times (-1)=-20$

故正确答案为：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复合函数的解析式求法（重点在于判定内层函数值的正负以选择分段）；二项式展开式的通项应用。

核心方法：“由内而外” 处理复合函数。先确定 $f(x)$ 的符号，再选定外层 $f$ 的分支。

避坑指南：计算二项式系数时不要漏掉符号位 $(-1{)}^r$。奇数项幂次会保留负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式系数性质、函数值域的判定。

结论推广：对于 $(x^m+\frac{a}{x^k}{)}^n$ 型展开式，常数项存在的前提是 $nr/(m+k)$ 为整数。

方法推广：处理分段函数复合题，建议在草稿纸上画出内外两层自变量的变化路径。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 05.02 函数的四大性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-04 单-分段函数
• 2015-浙江卷文-12 填-分段函数
• 2015-新课标I卷文-10 单-分段函数