2014-新课标I卷理-09 单-平面区域的表示

本题导读

本题将线性规划与全称/存在量词命题相结合。解题核心在于正确画出不等式组表示的可行域 $D$，并通过平移目标函数直线 $x+2y=z$ 来观察变量 $z$ 在区域 $D$ 上的取值范围。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(理)） 不等式组 $\{\begin{array}{l}x+y\ge 1\\ x-2y\le 4\end{array}$ 的解集记为 $D$，有下列四个命题：

$p_1:\forall (x,y)\in D,x+2y\ge -2$；

$p_2:\exists (x,y)\in D,x+2y\ge 2$；

$p_3:\forall (x,y)\in D,x+2y\le 3$；

$p_4:\exists (x,y)\in D,x+2y\le -1$.

其中真命题是 ()

A. $p_2,p_3$　　　　B. $p_1,p_2$　　　　C. $p_1,p_4$　　　　D. $p_1,p_3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画出可行域 $D$：
   • 直线 $x+y=1$ 的上方（含边界）。
   • 直线 $x-2y=4$ 的左上方（含边界）。
   • 两直线交点为 $A(2,-1)$，区域 $D$ 为一个开口向右上方延伸的无限区域。
2. 分析目标函数 $z=x+2y$：
   • 令 $x+2y=z$，即 $y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$。这是一个斜率为 $-\frac{1}{2}$ 的平行直线系。
   • $z$ 的大小由直线在 $y$ 轴上的截距决定。
3. 判定命题真假：
   • 当直线经过交点 $A(2,-1)$ 时，$z$ 取得最小值：$z_{min}=2+2(-1)=0$。
   • 观察区域 $D$ 的延伸方向可知 $z$ 的范围为 $[0,+\infty )$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract


第一步：绘制区域 $D$ 作直线 $l_1:x+y=1$ 和 $l_2:x-2y=4$。 不等式组表示的区域 $D$ 是以两直线交点 $A(2,-1)$ 为顶点的上方角形无限区域。

第二步：分析目标值 $z=x+2y$ 的范围 作动态直线 $l:x+2y=z$。 当直线 $l$ 向右上方平移时，$z$ 值增大；向左下方平移时，$z$ 值减小。 由图可知，当直线经过点 $A(2,-1)$ 时，$z$ 取得最小值 $z_{min}=2+2(-1)=0$。 由于区域 $D$ 在右上方是无限延伸的，所以 $z\in [0,+\infty )$。

第三步：判定各命题

• $p_1$: 因为 $\forall (x,y)\in D,x+2y\ge 0$，且 $0>-2$，所以 $x+2y\ge -2$ 恒成立。$p_1$ 为真。
• $p_2$: 因为 $z\in [0,+\infty )$，可知存在点（如 $x=2,y=1$ 时 $z=4$）使得 $z\ge 2$。$p_2$ 为真。
• $p_3$: 由于 $z$ 可以取到正无穷（如 $x=100,y=100\in D$），不可能对所有点都 $\le 3$。$p_3$ 为假。
• $p_4$: $z$ 的最小值为 $0$，不存在点使得 $z\le -1$。$p_4$ 为假。

综上所述，真命题是 $p_1,p_2$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划中目标函数的最值判定，以及全称量词（恒成立）与存在量词（能成立）的逻辑辨析。 2. 关键技巧：处理无限区域的线性规划，务必看清其延伸方向。若 $z$ 无上界，则涉及“$\forall \cdots \le \text{常数}$”的命题多为假。

2. 核心方法：画出可行域，平移目标函数直线观察截距变化。

3. 避坑指南：不要误认为交点一定是最大值点。本题中的交点是 $z$ 的最小值点，且区域不封闭。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 二元一次不等式的侧向判定（直线同侧同号）、凸集的概念。

2. 结论推广: 若区域 $D$ 是封闭凸多边形，$z=ax+by$ 的范围就是直线经过各顶点时所得值的 $[min,max]$ 区间。

3. 方法推广: 面对抽象逻辑命题，将其转化为函数值域问题： - $\forall x\in D,f(x)\ge k⟺f(x{)}_{min}\ge k$ - $\exists x\in D,f(x)\ge k⟺f(x{)}_{max}\ge k$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-02 单-集合的表示
• 2013-大纲卷理-01 单-集合的表示
• 2013-大纲卷文-16 填-球的表面积