2014-江西卷文-05 单-正弦定理

本题导读

把 $\frac{b}{a}$ 转化为 $\frac{\sin B}{\sin A}$，再把目标式整理成它的表达式。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(文)） 在 $△ABC$ 中，内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$，若 $3a=2b$，则 $\frac{2{\sin }^{2}B-{\sin }^{2}A}{{\sin }^{2}A}$ 的值为()

A. $-\frac{1}{9}$　　　　　　　B. $\frac{1}{3}$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $\frac{7}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

先由正弦定理得 $\frac{\sin B}{\sin A}=\frac{b}{a}=\frac{3}{2}$，再把所求式写成 $2{\left(\frac{\sin B}{\sin A}\right)}^2-1$。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 得 $\frac{\sin B}{\sin A}=\frac{b}{a}$。又 $3a=2b$，即 $\frac{b}{a}=\frac{3}{2}$，所以 $\frac{\sin B}{\sin A}=\frac{3}{2}$。 于是 $\frac{2{\sin }^{2}B-{\sin }^{2}A}{{\sin }^{2}A}=2{\left(\frac{\sin B}{\sin A}\right)}^2-1=2\times \frac{9}{4}-1=\frac{9}{2}-1=\frac{7}{2}$，故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理与三角恒等变形

2. 核心方法：边角互化（$a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C$）

3. 避坑指南：目标式只含 $\sin$ 的平方之比，应先把 $3a=2b$ 转化为 $\frac{\sin B}{\sin A}=\frac{3}{2}$ 再整体代入，不必求出具体的角。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 正弦定理在求值问题中的应用。

2. 结论推广: 在 $△ABC$ 中 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，故边之比等于对应角的正弦之比。

3. 方法推广: 齐次的边角混合式优先用正弦定理统一化为角（或统一化为边），再作恒等变形。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-16 填-正弦定理
• 2014-北京卷理-15 解-正弦定理