2014-湖南卷文-14 填-抛物线

本题导读

先由定义写出机器人的轨迹，再令直线与轨迹无公共点。

📌【题干】

Question

（2014年湖南卷(文)） 平面上一机器人在行进中始终保持与点 $F(1,0)$ 的距离和到直线 $x=-1$ 的距离相等.若机器人接触不到过点 $P(-1,0)$ 且斜率为 $k$ 的直线，则 $k$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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轨迹为 $y^2=4x$；直线 $y=k(x+1)$ 与它联立后判别式小于 $0$。

✅【答案】

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$(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

由抛物线定义，机器人的轨迹是以 $F(1,0)$ 为焦点、$x=-1$ 为准线的抛物线 $C:y^2=4x$。设该直线为 $y=k(x+1)$（$k=0$ 时 $y=0$ 与 $C$ 交于原点，故 $k\ne 0$）。代入 $y^2=4x$ 得 $k^2{x}^2+(2k^2-4)x+k^2=0$，判别式 $\Delta =(2k^2-4{)}^2-4k^4=16(1-k^2)$。 当 $|k|>1$ 时 $\Delta <0$，无公共点，机器人接触不到该直线；当 $|k|<1$ 时 $\Delta >0$，两根之积为 $1>0$、两根之和为 $\frac{4}{k^2}-2>0$，两交点均在 $x>0$ 的有效范围内，机器人可以接触到。故 $k\in (-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线的定义与直线位置关系

2. 核心方法：化轨迹为抛物线、判别式定范围

3. 避坑指南：「到定点与到定直线距离相等」直接给出抛物线 $y^2=4x$；「接触不到」等价于直线与抛物线无公共点，联立后 $\Delta =16(1-k^2)<0$，还要检验交点横坐标是否落在 $x⩾0$ 的有效范围。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 抛物线定义与判别式法的应用题。

2. 结论推广: 抛物线 $y^2=2px$ 的焦点 $(1,0)$、准线 $x=-1$ 对应 $p=2$，即 $y^2=4x$。

3. 方法推广: 「接触不到/接触得到」型问题先翻译为交点个数，再联立求判别式；含参时补充检验定义域限制。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷理-15 填-抛物线方程
• 2014-新课标I卷理-20 解-椭圆方程与性质