2014-辽宁卷文-23 解-参数方程

本题导读

(1) 设圆上点 $(\cos t,\sin t)$，纵坐标乘 $2$ 得参数方程；(2) 先求 $C$ 的普通方程与两交点，再求中点与垂直线的直角坐标方程，最后代入 $x=\rho \cos \theta$、$y=\rho \sin \theta$。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(文)） （选修 4-4：坐标系与参数方程）将圆 $x^2+y^2=1$ 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 $2$ 倍，得曲线 $C$.

(1) 写出 $C$ 的参数方程；

(2) 设直线 $l:2x+y-2=0$ 与 $C$ 的交点为 $P_1$，$P_2$，以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 $P_1{P}_2$ 的中点且与 $l$ 垂直的直线的极坐标方程.

🔍【思路分析】

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(1) 用圆的参数方程作伸缩；(2) 联立 $l$ 与 $C$ 求交点，得中点后写过该点、斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线。

✅【答案】

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(1) $\{\begin{array}{l}x=\cos t,\\ y=2\sin t,\end{array}$（$t$ 为参数，$t\in [0,2\pi )$）；(2) $\rho (\cos \theta -2\sin \theta )+\frac{3}{2}=0$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设原圆上的点为 $(\cos t,\sin t)$，其中 $t\in [0,2\pi )$。变换后横坐标不变、纵坐标变为原来的 $2$ 倍，所以曲线 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=\cos t,\\ y=2\sin t,\end{array}$（$t$ 为参数，$t\in [0,2\pi )$）。 (2) 由 (1) 消去 $t$ 得 $C$ 的普通方程 $x^2+\frac{y^2}{4}=1$。 把 $l:2x+y-2=0$，即 $y=2-2x$，代入得 $x^2+\frac{(2-2x{)}^2}{4}=1$，即 $2x^2-2x=0$， 解得 $x=0$ 或 $x=1$。不妨取 $P_1(0,2)$，$P_2(1,0)$， 则线段 $P_1{P}_2$ 的中点为 $M\left(\frac{1}{2},1\right)$。 直线 $l$ 的斜率为 $-2$，所以过 $M$ 且与 $l$ 垂直的直线斜率为 $\frac{1}{2}$，其直角坐标方程为 $y-1=\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{2}\right)$，即 $x-2y+\frac{3}{2}=0$。 代入 $x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$，得所求极坐标方程 $\rho (\cos \theta -2\sin \theta )+\frac{3}{2}=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：参数方程与极坐标方程

2. 核心方法：伸缩变换求轨迹，再化极坐标

3. 避坑指南：(1) 纵坐标变为原来的 $2$ 倍，是把圆 $x^2+y^2=1$ 上的点 $(x,y)$ 变为 $(x,2y)$，所得曲线为 $\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{4}=1$（不是圆）。(2) 中点与斜率的计算要在直角坐标下完成，最后再把方程化为极坐标。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 坐标系与参数方程（选修 4-4）。

2. 结论推广: $\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta ,\\ y=\rho \sin \theta .\end{array}$ 极坐标方程可由直角坐标方程代入互化得到。

3. 方法推广: 参数方程与极坐标问题的一般顺序：直角坐标下完成几何计算，最后一步再互化为极坐标。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷理-23 解-伸缩变换
• 2014-新课标I卷理-23 解-圆与椭圆的参数方程