2014-陕西卷文-21 解-导数综合

本题导读

(1) 求导并解 $f\acute{(}x)=0$ 定极值；(2) 把 $g(x)=0$ 化为 $m=x-\frac{x^3}{3}$，按 $m$ 与最大值 $\frac{2}{3}$ 的大小分档；(3) 恒成立等价于 $f(x)-x$ 递减，求导后归为 $m⩾x-x^2$。

📌【题干】

Question

（2014年陕西卷(文)） 设函数 $f(x)=\ln x+\frac{m}{x}$，$m\in \mathbf{R}$.

(1) 当 $m=\mathrm{e}$（e 为自然对数的底数）时，求 $f(x)$ 的极小值；

(2) 讨论函数 $g(x)=f\acute{(}x)-\frac{x}{3}$ 零点的个数；

(3) 若对任意 $b>a>0$，$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}<1$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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(1) $f\acute{(}x)=\frac{x-\mathrm{e}}{x^2}$；(2) $\phi (x)=x-\frac{x^3}{3}$ 在 $x=1$ 处取最大值 $\frac{2}{3}$；(3) $h(x)=f(x)-x$ 递减 $iffm⩾x-x^2$。

✅【答案】

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(1) 极小值为 $2$；(2) 当 $m>\frac{2}{3}$ 时无零点，当 $m=\frac{2}{3}$ 或 $m⩽0$ 时恰有一个零点，当 $0<m<\frac{2}{3}$ 时有两个零点；(3) $m\in \left[\frac{1}{4},+\infty \right)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $m=\mathrm{e}$ 时，$f(x)=\ln x+\frac{\mathrm{e}}{x}$，定义域为 $(0,+\infty )$，$f\acute{(}x)=\frac{1}{x}-\frac{\mathrm{e}}{x^2}=\frac{x-\mathrm{e}}{x^2}$。 当 $0<x<\mathrm{e}$ 时 $f\acute{(}x)<0$，$f(x)$ 单调递减；当 $x>\mathrm{e}$ 时 $f\acute{(}x)>0$，$f(x)$ 单调递增。 故 $f(x)$ 在 $x=\mathrm{e}$ 处取得极小值 $f(\mathrm{e})=\ln \mathrm{e}+\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}}=2$。 (2) $g(x)=\frac{1}{x}-\frac{m}{x^2}-\frac{x}{3}$（$x>0$）。 $g(x)=0⟺x-\frac{x^3}{3}=m$。设 $\phi (x)=x-\frac{x^3}{3}$（$x>0$），则 $\phi \acute{(}x)=1-x^2$。 $\phi (x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty )$ 上单调递减，$\phi (1)=\frac{2}{3}$ 为最大值，且 $x\to 0^{+}$ 时 $\phi (x)\to 0$，$x\to +\infty$ 时 $\phi (x)\to -\infty$。 结合 $y=\phi (x)$ 的图象： 当 $m>\frac{2}{3}$ 时，$g(x)$ 无零点；当 $m=\frac{2}{3}$ 时，恰有一个零点；当 $0<m<\frac{2}{3}$ 时，有两个零点；当 $m⩽0$ 时，恰有一个零点（$m=0$ 时零点为 $x=\sqrt{3}$）。 综上：当 $m>\frac{2}{3}$ 时无零点；当 $m=\frac{2}{3}$ 或 $m⩽0$ 时有且仅有一个零点；当 $0<m<\frac{2}{3}$ 时有两个零点。 (3) 对任意 $b>a>0$，$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}<1$ 等价于 $f(b)-b<f(a)-a$，即 $h(x)=f(x)-x=\ln x+\frac{m}{x}-x$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减。 $h\acute{(}x)=\frac{1}{x}-\frac{m}{x^2}-1=\frac{x-m-x^2}{x^2}⩽0$ 在 $(0,+\infty )$ 上恒成立 $⟺m⩾x-x^2$ 对任意 $x>0$ 恒成立。 设 $u(x)=x-x^2=-{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}$（$x>0$），其最大值为 $u\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$。 故 $m⩾\frac{1}{4}$（当 $m=\frac{1}{4}$ 时，$h\acute{(}x)=0$ 仅在 $x=\frac{1}{2}$ 处成立，不影响 $h$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减）。 所以 $m$ 的取值范围是 $\left[\frac{1}{4},+\infty \right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数与极值、零点个数、恒成立的参变分离

2. 核心方法：求导定极值 / 分离参数看交点 / 构造单调函数

3. 避坑指南：(2) 把 $g(x)=0$ 改写成 $m=x-\frac{x^3}{3}$ 后，零点个数就是曲线 $\phi (x)=x-\frac{x^3}{3}$（$x>0$）与水平线 $y=m$ 的交点个数，$\phi$ 在 $x=1$ 处取最大值 $\frac{2}{3}$；(3) 恒成立式等价于 $f(x)-x$ 在 $(0,+\infty )$ 上递减，求导后归为 $m⩾x-x^2$ 恒成立。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 利用导数研究函数的极值、零点与不等式恒成立。

2. 结论推广: $g(x)=0$ 的解的个数 $=$ 曲线 $y=\phi (x)$ 与直线 $y=m$ 的交点个数；$h(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上递减 $⟺h\acute{(}x)⩽0$ 恒成立。

3. 方法推广: 「零点个数」先分离参数再依图象分档讨论；「任意 $b>a>0$ 时 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}<1$」这类平均变化率不等式，等价于 $f(x)-x$ 单调递减。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.16 零点问题
• 20.18 恒成立问题——参变分离法

类题演练 (Links)

• 2014-陕西卷理-21 解-递推关系
• 2014-湖南卷文-21 解-导数零点