2015-新课标II卷文-02 单-复数运算

本题导读

复数除法求参数。把分母乘过去化成 $m+ni$，再比较实部与虚部，两个等式定出 $a$。

📌【题干】

Question

（2015年新课标II卷(文)） 若 $a$ 为实数，且 $\frac{2+ai}{1+i}=3+i$，则 $a=$ ()

A. $-4$　　　　　　　B. $-3$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 去分母：$2+ai=(3+i)(1+i)$。
2. 展开右边并整理成 $m+ni$ 形式。
3. 实部与虚部分别相等，解出 $a$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由 $\frac{2+ai}{1+i}=3+i$ 得

$2+ai=(3+i)(1+i)=3+3i+i+i^2=2+4i.$

比较虚部得 $a=4$.

（也可先把左边分母实数化：$\frac{2+ai}{1+i}=\frac{(2+ai)(1-i)}{2}=\frac{2+a}{2}+\frac{a-2}{2}i$，再由虚部 $\frac{a-2}{2}=1$ 得 $a=4$，两法一致。）

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数代数形式的除法；复数相等的充要条件。

2. 核心方法：“去分母后比较实虚部”比”分母实数化再比较”更省步，两条路都通向同一个方程组。

3. 避坑指南：① 注意 $i^2=-1$，展开 $(3+i)(1+i)$ 时容易漏掉负号；② 比较时实部对实部、虚部对虚部，不能只对一个。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：复数运算是新课标Ⅱ卷选择题的常驻题（通常在 1~3 题），2015 年文理两卷都考复数除法，属基础题。

2. 结论推广: 若条件改为 $\frac{2+ai}{1-i}=3+i$，则需乘 $1+i$ 化分母，方法完全一致——核心永远是”去分母”。

3. 方法推广: 复数题通用套路：算式含分母就先去分母（乘共轭），化成 $m+ni$ 后逐部比较；纯虚数条件即”实部为 $0$ 且虚部不为 $0$”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷理-2
• 2014-新课标II卷理-02 单-复平面与对应点