2015-湖南卷文-01 单-复数运算

本题导读

$(1-i{)}^2=-2i$，$z=\frac{-2i}{1+i}=-1-i$，选 D。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(文)） 已知 $\frac{(1-i{)}^2}{z}=1+i$（$i$ 为虚数单位），则复数 $z=$ ()

A. $1+i$　　　　　　B. $1-i$　　　　　　C. $-1+i$　　　　　　D. $-1-i$

🔍【思路分析】

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$(1-i{)}^2=-2i$，$z=\frac{-2i}{1+i}=-1-i$，选 D。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$(1-i{)}^2=1-2i+i^2=-2i$，故 $z=\frac{-2i}{1+i}=\frac{-2i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{-2i+2i^2}{2}=-1-i$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的乘除运算（分母实数化）

核心方法：先算完全平方，再分子分母同乘共轭

避坑指南：$z$ 在分母，等式是 $\frac{(1-i{)}^2}{z}=1+i$，求 $z$ 要先”翻转”成 $z=\frac{(1-i{)}^2}{1+i}$，直接把两边当乘法会算错方向。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数除法开卷题，与湖北卷第 1 题同为”复数 + 幂运算”结构。

结论推广：一般地 $\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{2}$，$\frac{1}{1-i}=\frac{1+i}{2}$，熟记可跳过通分。

方法推广：复数除法一步走：分子分母同乘分母的共轭复数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练(Links)

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