2017-全国卷II文-06 单-三视图

本题导读

本题考查三视图，以及圆柱的体积公式。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷II(文)） 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 ()

A. $90\pi$　　　　　　　B. $63\pi$　　　　　　　C. $42\pi$　　　　　　　D. $36\pi$

🔍【思路分析】

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1. 三视图还原：

• 俯视图是一个圆，说明该几何体的主体结构是圆柱。圆的直径占 6 个小格，故半径 $r=3$。
• 正视图和侧视图表明圆柱的底部是平的，顶部是被斜截的。

2. 确定几何体尺寸：

• 观察正视图：左侧高为 4，右侧高为 10（即 $4+6$）。

3. 计算体积（割补思想）：

• 方案一（割）：将几何体分为下半部分的完整圆柱（高为 4）和上半部分圆柱的一半（高为 6）。
• 方案二（补）：利用对称性，将两个完全相同的该几何体对接，可以组成一个高为 $4+10=14$ 的完整圆柱，总体积的一半即为所求。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解： 由三视图可知，该几何体是一个底面半径 $r=3$ 的圆柱被平面所截剩下的部分。 从正视图可以看出：

• 圆柱的最短母线长 $h_{\min }=4$；
• 圆柱的最长母线长 $h_{\max }=10$。

方法一：切割法 将几何体水平切割，分为两部分：

1. 下部分是高为 $h_1=4$ 的完整圆柱，其体积 $V_1=\pi r^2{h}_1=\pi \times 3^2\times 4=36\pi$。
2. 上部分是高为 $h_2=10-4=6$ 的圆柱的一半，其体积 $V_2=\frac{1}{2}\pi r^2{h}_2=\frac{1}{2}\times \pi \times 3^2\times 6=27\pi$。 总体积 $V=V_1+V_2=36\pi +27\pi =63\pi$。

方法二：补形法（平均高度法） 被斜截圆柱的体积等于底面积乘以母线的平均长度： $V=S_{\text{base}}\times \frac{h_{\min }+h_{\max }}{2}$ $V=(\pi \times 3^2)\times \frac{4+10}{2}=9\pi \times 7=63\pi$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 三视图阅读：正视图反映“高”和“长”，侧视图反映“高”和“宽”，俯视图反映“长”和“宽”。本题中俯视图直接给出了半径信息。
• 斜截圆柱体积：这是一个重要的二级结论，即 $V=\pi r^2\cdot \bar{h}$，其中 $\bar{h}$ 是中心轴线的长度（也是最长和最短母线的算术平均值）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 表面积计算： 若要求该几何体的表面积，除了底圆面积 $\pi r^2$ 和侧面积外，还需要计算顶部的椭圆截面面积。利用射影面积公式 $S_{\text{底}}=S_{\text{截}}\cdot \cos \theta$（$\theta$ 为截面与底面的夹角）求解。

2. 变式思考： 如果俯视图不是圆而是正方形，则几何体变为直四棱柱被截，体积计算原理相同：底面积乘以平均高度。

3. 易错点： 网格题务必数准小格。本题直径为 6，若误看为半径为 6，则体积会扩大 4 倍。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-09 单-三视图
• 2014-新课标I卷文-08 单-三视图
• 2014-湖北卷文-07 单-三视图