2017-全国卷II理-03 单-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷II(理)） 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯 ()

A. 1 盏　　　　　B. 3 盏　　　　　C. 5 盏　　　　　D. 9 盏

🔍【思路分析】

破题导航

1. 构建数学模型：

• “塔七层”说明项数 $n=7$。
• “下一层灯数是上一层灯数的 2 倍”说明这是一个公比 $q=2$ 的等比数列。
• “共灯三百八十一”说明前 7 项和 $S_7=381$。
• “尖头几盏灯”即求首项 $a_1$（顶层灯数）。

2. 应用公式：使用等比数列求和公式 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$ 建立关于 $a_1$ 的方程。
3. 计算求解：代入已知数值，求出 $a_1$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解： 设塔的顶层（第 1 层）灯数为 $a_1$，各层灯数构成等比数列 $\{a_n\}$。 由题意知，公比 $q=2$，层数 $n=7$，总灯数 $S_7=381$。 根据等比数列求和公式 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，有： $381=\frac{a_1(1-2^7)}{1-2}$ $381=\frac{a_1(1-128)}{-1}$ $381=127a_1$ 解得： $a_1=3$ 所以塔的顶层共有 3 盏灯。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 文字转化能力：古算题常用意象化的语言，如“倍加增”对应 $q=2$，“尖头”对应 $a_1$。
• 等比求和公式：熟练掌握 $2$ 的幂次（如 $2^7=128$）能显著加快计算。
• 计算检查：若 $a_1=3$，各层灯数分别为 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192。快速心算：$3+6+12+24+48+96+192=381$，验证正确。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考： 如果题目改为“最底层灯数为 384 盏，求顶层灯数”，则利用通项公式 $a_7=a_1\cdot q^6$，即 $384=a_1\cdot 2^6\Rightarrow a_1=6$。

2. 估算法： 若不记得公式，可以简单估算： 若 $a_1=1$，则和为 $1+2+4+8+16+32+64=127$； 因为 $381=3\times 127$，所以首项应当是 $1\times 3=3$。

3. 数学文化背景： 《算法统宗》由明代数学家程大位撰写，是中国古代数学的重要著作。这类题目将传统文化与现代数学结合，是近年高考的热点趋势。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2014-广东卷文-13 填-等比数列
• 2015-四川卷文-16 解-等比数列
• 2015-新课标I卷文-13 填-等比数列