2017-全国卷III理-01 单-集合

本题导读

本题考查集合的运算，以及点集与数集的辨析。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(理)） 已知集合 $A=\{(x,y)\mid x^2+y^2=1\}$，$B=\{(x,y)\mid y=x\}$，则 $A\cap B$ 中元素的个数为 ()

A. 3　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 1　　　　　　　D. 0

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别元素类型：集合 $A$ 和 $B$ 的元素都是有序数对 $(x,y)$。这意味着集合的几何意义是坐标平面上的点集。
2. 翻译几何语言：

• 集合 $A$：方程 $x^2+y^2=1$ 代表以原点为圆心，1 为半径的单位圆。
• 集合 $B$：方程 $y=x$ 代表过原点且斜率为 1 的直线。

3. 判定交点个数：$A\cap B$ 即求直线与圆的交点。由于直线 $y=x$ 经过圆心 $(0,0)$，其与圆必有两个交点。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：


第一步：分析集合的几何意义 集合 $A$ 是圆心在 $(0,0)$，半径 $r=1$ 的圆上点的集合； 集合 $B$ 是直线 $y=x$ 上点的集合。

第二步：判定位置关系 计算圆心 $O(0,0)$ 到直线 $x-y=0$ 的距离 $d$： $d=\frac{|0-0|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=0$ 因为 $d=0<r=1$，所以直线与圆相交，且直线经过圆心。

第三步：确定元素个数 直线与圆有两个交点，分别为 $(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$ 和 $(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$。 因此，$A\cap B$ 的元素个数为 2。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 点集 vs 数集：这是集合题目中最容易失分的地方。若集合为 $\{y\mid y=x^2\}$，则代表 $y$ 的取值范围（射线）；若为 $\{(x,y)\mid y=x^2\}$，则代表抛物线上的点。
• 数形结合：解析几何问题的首选往往是画图，而非盲目联立方程。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 陷阱变式：数集陷阱 如果题目改为：$A=\{x\mid x^2+y^2=1\},B=\{x\mid y=x\}$，求 $A\cap B$。

• 此时 $A=[-1,1]$（圆在 $x$ 轴上的投影），$B=\mathbb{R}$。
• 则 $A\cap B=[-1,1]$，元素个数为无限个。务必看清集合描述语中“竖线左侧”的内容。

2. 几何关系的快速判定：

• 相交（2个元素）：$d<r$
• 相切（1个元素）：$d=r$
• 相离（0个元素）：$d>r$ 如果本题 $A$ 改为 $\{(x,y)\mid x^2+y^2=\frac{1}{4}\}$ 而 $B$ 改为 $\{(x,y)\mid y=x+1\}$，则需重新计算 $d$ 判定。

3. 运算技巧： 在处理点集交集时，若方程简单，可直接联立：将 $y=x$ 代入 $x^2+y^2=1$，得 $2x^2=1\Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。由于 $x$ 有两个实数解，对应两个不同的点，故个数为 2。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷文-01 单-集合
• 2014-湖南卷文-02 单-集合
• 2014-福建卷文-01 单-集合