2025-新高考I卷-05 单-函数性质

本题导读

本题考查抽象函数性质的综合运用，核心在于利用偶数性和周期性将待求自变量转化到已知解析式的定义域区间内.

📌【题干】

Question

（2025年新高考I卷）已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上且周期为 $2$ 的偶函数，当 $2\le x\le 3$ 时，$f(x)=5-2x$，则 $f(-\frac{3}{4})=$ ()

A. $-\frac{1}{2}$　　　　　　B. $-\frac{1}{4}$　　　　　　C. $\frac{1}{4}$　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 利用偶性初步转化：利用 $f(-x)=f(x)$，将负自变量转化为正数，即 $f(-\frac{3}{4})=f(\frac{3}{4})$.
2. 利用周期性调整区间：已知解析式在 $[2,3]$ 上，当前的 $\frac{3}{4}$ (即 $0.75$) 不在区间内。通过加上周期的倍数 $2k$ ($k\in \mathbb{Z}$)，使其落入 $[2,3]$.
3. 代入计算：确定转化后的自变量数值，代入 $f(x)=5-2x$ 得到最终结果.

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

1. 奇偶性转化： 因为 $f(x)$ 是偶函数，所以有 $f(-\frac{3}{4})=f(\frac{3}{4})$.
2. 周期性转化： 因为 $f(x)$ 的周期 $T=2$， 所以 $f(\frac{3}{4})=f(\frac{3}{4}+2)=f(\frac{11}{4})$.

3. 区间核对与求值： 计算 $\frac{11}{4}=2.75$. 显然 $2\le 2.75\le 3$ 满足已知解析式的定义域. 将 $x=\frac{11}{4}$ 代入 $f(x)=5-2x$： $f\left(-\frac{3}{4}\right)=f\left(\frac{11}{4}\right)=5-2\times \frac{11}{4}$ $=5-\frac{11}{2}$ $=\frac{10-11}{2}=-\frac{1}{2}$

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待补

2. 核心方法：待补

3. 避坑指南：待补

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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