2009-上海卷理-03 填-不等式

本题导读

本题考查行列式的概念与性质、代数余子式的求法，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(理)） 若行列式 $\left|\begin{array}{ccc}4& 5& x\\ 1& x& 3\\ 7& 8& 9\end{array}\right|$ 中，元素 4 的代数余子式大于 0，则 $x$ 满足的条件是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 确定元素 4 所在的行与列位置（第 1 行第 1 列）。

2. 根据代数余子式的定义 $A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$ 划去对应的行与列，写出二阶子式并计算。

3. 解所得的一元一次不等式。

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$x>\frac{8}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

在三阶行列式中，元素 4 位于第 1 行第 1 列，即 $i=1,j=1$． 划去第 1 行与第 1 列后，剩余元素组成的二阶子式（余子式）为： $M_{11}=\left|\begin{array}{cc}x& 3\\ 8& 9\end{array}\right|=9x-24$ 根据代数余子式的定义，元素 4 的代数余子式 $A_{11}$ 为： $A_{11}=(-1{)}^{1+1}{M}_{11}=1\times (9x-24)=9x-24$ 已知代数余子式大于 0，则： $9x-24>0⟹9x>24⟹x>\frac{8}{3}$ 故填 $x>\frac{8}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余子式与代数余子式的区别和联系。

2. 核心方法：利用 $(-1{)}^{i+j}$ 确定正负号，配合对角线法则计算二阶行列式。

3. 避坑指南：切记代数余子式带有符号因子 $(-1{)}^{i+j}$，虽然本题中 $(-1{)}^{1+1}=1$ 对正负号无影响，但如果是其他位置的元素（如元素 5 所在的 $A_{12}$），就必须添加负号，养成每题必写符号因子的好习惯。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 行列式是老上海高考理科数学的标志性基础考点，考查线性代数前置基础的掌握情况。

2. 结论推广: 对于任意三阶行列式，元素 $a_{ij}$ 的代数余子式只与其所在位置划去后的剩余元素有关，与元素 $a_{ij}$ 本身的值无关（本题中代数余子式的计算完全不需要用到元素 4 的大小）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立
• 2011-上海卷理-15 单-基本不等式