2009-四川卷文-09 单-球面距离

本题导读

考查球面距离。$r=\sqrt{9-\frac{9}{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$AC=2r=3\sqrt{2}$，$BC=3$；弦 $BC$ 对应球心角 $\frac{\pi }{3}$，球面距离 $3\times \frac{\pi }{3}=\pi$，选 B。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(文)） 如图，在半径为 $3$ 的球面上有 $A$、$B$、$C$ 三点，$\angle ABC=90^{\circ }$，$BA=BC$，球心 $O$ 到平面 $ABC$ 的距离是 $\frac{3\sqrt{2}}{2}$，则 $B$、$C$ 两点的球面距离是 ()

A. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　B. $\pi$　　　　　　　C. $\frac{4\pi }{3}$　　　　　　　D. $2\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 截面小圆半径 $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{9-\frac{9}{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
2. $\angle ABC=90^{\circ }$，故 $AC$ 是小圆的直径，$AC=2r=3\sqrt{2}$。
3. $BA=BC$ 且 $\angle ABC=90^{\circ }$，$BC=\frac{AC}{\sqrt{2}}=3$。
4. 弦 $BC=3=R$，对应球心角 $\theta$：$\sin \frac{\theta }{2}=\frac{3/2}{3}=\frac{1}{2}$，$\theta =\frac{\pi }{3}$。
5. 球面距离 $=R\theta =3\times \frac{\pi }{3}=\pi$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

平面 $ABC$ 截球所得小圆的半径为 $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{9-\frac{9}{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}.$ 因为 $\angle ABC=90^{\circ }$，所以 $AC$ 是小圆的直径，$AC=2r=3\sqrt{2}$。 又 $BA=BC$，故 $BC=\frac{AC}{\sqrt{2}}=3$。 设 $BC$ 所对的球心角为 $\theta$，由 $BC=3=R$，得 $\sin \frac{\theta }{2}=\frac{BC/2}{R}=\frac{1}{2},\theta =\frac{\pi }{3}.$ 所以 $B$、$C$ 两点的球面距离为 $R\theta =3\times \frac{\pi }{3}=\pi$，故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球面距离的计算

核心方法：截面圆半径 $r=\sqrt{R^2-d^2}$；球面距离 $=R\times$ 球心角

避坑指南：$\angle ABC=90^{\circ }$ 则 $AC$ 是小圆直径（截面圆内的圆周角定理），这是求 $BC$ 的桥。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：球面距离特指过两点的大圆劣弧长，不是弦长。

结论推广：弦长 $l$ 与球心角 $\theta$：$l=2R\sin \frac{\theta }{2}$。

方法推广：$BC=3=R$ 时 $\theta =60^{\circ }$，等边三角形结构。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-15 填-球的截面
• 2009-大纲卷II文-16 填-球截面与表面积
• 2009-上海卷文-06 填-球表面积比
• 2009-江西卷文-20 解-四棱锥与球