2009-大纲卷I文-09 单-三棱柱异面直线

本题导读

考查异面直线所成角。$C{C}_1\parallel A{A}_1$，所求角即 $AB$ 与 $A{A}_1$ 的角；$A_1$ 的射影为 $BC$ 中点给出高的位置，建系计算余弦值。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(文)） 已知三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的侧棱与底面边长都相等，$A_1$ 在底面 $ABC$ 上的射影为 $BC$ 的中点，则异面直线 $AB$ 与 $C{C}_1$ 所成的角的余弦值为 ()

A. $\frac{\sqrt{3}}{4}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{5}}{4}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{7}}{4}$　　　　　　　D. $\frac{3}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $C{C}_1\parallel A{A}_1$，所求角即 $AB$ 与 $A{A}_1$ 所成的角。
2. 设边长为 $a$，以 $BC$ 中点 $O$ 为原点建系：$A_1$ 在 $O$ 正上方，由 $A{A}_1=a$ 得 $A_{1}O=\frac{a}{2}$。
3. 写出 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{A{A}_1}$（或 $\overrightarrow{C{C}_1}$），算数量积。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由 $C{C}_1\parallel A{A}_1$，所求角即异面直线 $AB$ 与 $A{A}_1$ 所成的角。 设侧棱与底面边长均为 $a$。取 $BC$ 的中点 $O$ 为原点，$BC$ 为 $x$ 轴建系，则 $B=\left(-\frac{a}{2},0,0\right),C=\left(\frac{a}{2},0,0\right),A=\left(0,\frac{\sqrt{3}a}{2},0\right),A_1=\left(0,0,h\right).$ 由 $A{A}_1=a$ 得 $a^2=h^2+A{O}^2=h^2+\frac{3a^2}{4}$，故 $h=\frac{a}{2}$。 $\overrightarrow{AB}=\left(-\frac{a}{2},-\frac{\sqrt{3}a}{2},0\right),\overrightarrow{C{C}_1}=\overrightarrow{A{A}_1}=\left(0,-\frac{\sqrt{3}a}{2},\frac{a}{2}\right).$ $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{C{C}_1}}{a\times a}=\frac{0+\frac{3a^2}{4}+0}{a^2}=\frac{3}{4}.$ 故所成角的余弦值为 $\frac{3}{4}$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：异面直线所成的角与三棱柱结构

核心方法：平移归位 + 建系求方向向量夹角

避坑指南：$C{C}_1\parallel A{A}_1$ 归位后算 $AB$ 与 $A{A}_1$；由 $A{A}_1=a$ 与射影条件解出高 $h=\frac{a}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：异面直线所成角的标准处理是平移相交或向量法。

结论推广：侧棱平行于对棱：$\overrightarrow{C{C}_1}=\overrightarrow{A{A}_1}$，直接替换方向向量。

方法推广：“射影为某边中点”给出高的位置，配合侧棱长用勾股定高。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-15 填-异面直线所成角
• 2014-大纲卷文-04 单-异面直线所成角
• 2013-江苏卷-22 解-异面直线所成的角