2009-大纲卷I文-18 解-解三角形求边

本题导读

解三角形。把 $\sin B=4\cos A\sin C$ 用正弦定理化边，或拆 $\sin B=\sin (A+C)$ 后代正余弦定理，结合 $a^2-c^2=2b$ 解出 $b$。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(文)） 在 $△ABC$ 中，内角 $A$、$B$、$C$ 的对边长分别为 $a$、$b$、$c$，已知 $a^2-c^2=2b$，且 $\sin B=4\cos A\sin C$，求 $b$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $\sin B=\sin (A+C)=\sin A\cos C+\cos A\sin C=4\cos A\sin C$ 得 $\sin A\cos C=3\cos A\sin C$。
2. 用正弦、余弦定理角化边：$a\cdot \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=3c\cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$。
3. 化简得 $b^2=2(a^2-c^2)=4b$，故 $b=4$。

✅【答案】

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$b=4$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\sin B=\sin (A+C)=\sin A\cos C+\cos A\sin C$ 及 $\sin B=4\cos A\sin C$，得 $\sin A\cos C=3\cos A\sin C.$ 由正弦定理 $\sin A=\frac{a}{2R}$，$\sin C=\frac{c}{2R}$，余弦定理 $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$，$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$，代入得 $a\cdot \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=3c\cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},$ 即 $a^2+b^2-c^2=3(b^2+c^2-a^2)$，整理得 $b^2=2(a^2-c^2)$。 又由 $a^2-c^2=2b$ 得 $b^2=4b$。因为 $b>0$，所以 $b=4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理与余弦定理解三角形

核心方法：和角公式拆项 + 角化边

避坑指南：$\sin B=\sin (A+C)$ 拆开后比较系数得 $\sin A\cos C=3\cos A\sin C$；$b^2=4b$ 由 $b>0$ 定根。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角形中”边角混合条件”统一化边是标准路线。

结论推广：$\sin B=\sin (A+C)=\sin A\cos C+\cos A\sin C$；正弦定理角化边、余弦定理代角。

方法推广：解出 $b^2=4b$ 这类”平方=一次”的方程时，用边长为正定根。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2011-湖北卷文-16 解-正余弦定理解三角形
• 2011-山东卷文-17 解-正余弦定理解三角形
• 2011-辽宁卷文-17 解-正余弦定理解三角形