2009-天津卷文-12 填-三视图三棱柱体积

本题导读

考查三视图。几何体为横放直三棱柱：底面是边长 $2$ 的正三角形（侧视图），柱长 $3$（正视图），$V=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 4\times 3=3\sqrt{3}$，$a$ 为正视图高即正三角形的高 $\sqrt{3}$。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(文)） 如图是一个几何体的三视图，若它的体积是 $3\sqrt{3}$，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由三视图：几何体是直三棱柱，底面为侧视图所示的正三角形（边长 $2$），侧棱长 $3$。
2. $V=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 2^2\times 3=3\sqrt{3}$，与题设一致。
3. $a$ 是正视图的高，按”高平齐”即正三角形的高：$a=\frac{\sqrt{3}}{2}\times 2=\sqrt{3}$。

✅【答案】

点击查看答案

$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由”长对正、高平齐、宽相等”，该几何体是横放的直三棱柱： 侧视图即底面，是边长为 $2$ 的正三角形，面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}\times 2^2=\sqrt{3}$，高为 $\frac{\sqrt{3}}{2}\times 2=\sqrt{3}$；柱体的高（侧棱长）为正视图的长 $3$。 体积 $V=\sqrt{3}\times 3=3\sqrt{3}$，与题设相符。 $a$ 是正视图的高，按”高平齐”等于底面正三角形的高，故 $a=\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三视图还原与柱体体积

核心方法：还原横放直三棱柱 + 底面积乘侧棱

避坑指南：侧视图是底面（正三角形边长 $2$），正视图的长 $3$ 是柱长；$a$ 是正视图的高，按”高平齐”等于正三角形的高 $\sqrt{3}$，别当成侧棱。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三视图求体积/参数是立体几何必考小题。

结论推广：长对正、高平齐、宽相等三原则定位每个标注。

方法推广：边长 $2$ 的正三角形面积 $\frac{\sqrt{3}}{4}\times 4=\sqrt{3}$、高 $\sqrt{3}$ 是常用数据。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2011-天津卷文-10 填-三视图求体积
• 2009-新课标卷文-11 单-三视图全面积
• 2011-新课标卷文-08 单-三视图侧视图