2009-山东卷文-16 填-线性规划

本题导读

考查线性规划。约束 $5x+6y⩾50$，$x+2y⩾14$，目标 $z=200x+300y$，在整点 $(4,5)$ 取最小 $2300$ 元。

📌【题干】

Question

（2009年山东卷(文)） 某公司租赁甲、乙两种设备生产 $A$，$B$ 两类产品，甲种设备每天能生产 $A$ 类产品 $5$ 件和 $B$ 类产品 $10$ 件，乙种设备每天能生产 $A$ 类产品 $6$ 件和 $B$ 类产品 $20$ 件.已知设备甲每天的租赁费为 $200$ 元，设备乙每天的租赁费为 $300$ 元.现该公司至少要生产 $A$ 类产品 $50$ 件，$B$ 类产品 $140$ 件，所需租赁费最少为 $\underline{}$ 元.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设甲、乙设备各租 $x$，$y$ 天：$5x+6y⩾50$，$10x+20y⩾140$（即 $x+2y⩾14$），$x$，$y\in \mathbf{N}$。
2. 目标 $z=200x+300y$。
3. 顶点比较：$(0,7)$ 费 $2100$；$(14,0)$ 费 $2800$；两约束交点 $(4,5)$ 费 $800+1500=2300$。
4. 对整点逐一比较，$(4,5)$ 最省，$2300$ 元。

✅【答案】

点击查看答案

$2300$

✍【详细解析】

Abstract

设租甲设备 $x$ 天、乙设备 $y$ 天，则 $\{\begin{array}{l}5x+6y⩾50,\\ x+2y⩾14,\\ x,y\in \mathbf{N}.\end{array}$ 目标函数 $z=200x+300y$。 作出可行域，直线 $5x+6y=50$ 与 $x+2y=14$ 的交点为 $\{\begin{array}{l}x=4\\ y=5\end{array}$，此时 $z=200\times 4+300\times 5=2300$。 边界其他整点如 $(0,7)$ 时 $z=2100$，但 $5\times 0+6\times 7=42<50$ 不满足 $A$ 类产量约束，舍去； $(14,0)$ 时 $z=2800$；$(8,3)$ 时 $z=2500$。 比较可知最少租赁费为 $2300$ 元。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划的实际应用

核心方法：设变量、列约束、作可行域、比整点

避坑指南：约束 $5x+6y⩾50$，$x+2y⩾14$，$x,y\in \mathbf{N}$；目标 $z=200x+300y$ 在 $(4,5)$ 取最小 $2300$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：应用题的变量要有实际意义（天数取非负整数），边界整点逐一比较。

结论推广：两约束直线的交点是候优点，但整数规划必须在可行整点里比，不能只看交点。

方法推广：验证 $(4,5)$：$A$ 类 $5\times 4+6\times 5=50⩾50$，$B$ 类 $10\times 4+20\times 5=140⩾140$，恰好同时卡在两条约束上。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-07 填-线性规划开区域
• 2009-北京卷文-11 填-线性规划最值
• 2009-天津卷文-02 单-线性规划