2009-新课标卷文-08 单-等差数列中项求和

本题导读

考查等差数列性质。$a_{m-1}+a_{m+1}=2a_m$ 把条件化为 $a_m(2-a_m)=0$，再用 $S_{2m-1}=(2m-1)a_m$ 求 $m$。

📌【题干】

Question

（2009年新课标卷(文)） 等差数列 $\{a_n\}$ 前 $n$ 项和为 $S_n$.已知 $a_{m-1}+a_{m+1}-a_m^2=0$，$S_{2m-1}=38$，则 $m=$ ()

A. $38$　　　　　　　B. $20$　　　　　　　C. $10$　　　　　　　D. $9$

🔍【思路分析】

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1. 等差中项：$a_{m-1}+a_{m+1}=2a_m$，条件化为 $a_m^2-2a_m=0$。
2. 由 $S_{2m-1}=38>0$ 舍去 $a_m=0$，得 $a_m=2$。
3. $S_{2m-1}=(2m-1)a_m=38$，解出 $m$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由等差中项性质，$a_{m-1}+a_{m+1}=2a_m$，代入条件得 $2a_m-a_m^2=0,\text{即}{a}_m(2-a_m)=0.$ 若 $a_m=0$，则 $S_{2m-1}=(2m-1)a_m=0$，与 $S_{2m-1}=38$ 矛盾，故 $a_m=2$。 由求和公式（下标中项法）， $S_{2m-1}=(2m-1)a_m=2(2m-1)=38,$ 解得 $2m-1=19$，即 $m=10$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列的性质与求和

核心方法：等差中项 $a_{m-1}+a_{m+1}=2a_m$ 与 $S_{2m-1}=(2m-1)a_m$

避坑指南：$a_m=0$ 也是方程的根，要结合 $S_{2m-1}=38$ 舍去，别直接开方。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列下标和性质：$S_{2m-1}=(2m-1)a_m$。

结论推广：$n$ 为奇数时，奇数项和 = 项数 $\times$ 中间项。

方法推广：看到平方项 $a_m^2$ 先因式分解，再用性质消元。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-重庆卷文-01 单-等差数列基本量
• 2011-福建卷文-17 解-等差数列基本量
• 2011-大纲卷文-06 单-等差数列片段和