2009-新课标卷文-13 填-指数曲线切线

本题导读

考查切线方程。切点 $(0,1)$ 已知，只需求导数值作斜率，再用点斜式写出直线。

📌【题干】

Question

（2009年新课标卷(文)） 曲线 $y=x{\mathrm{e}}^x+2x+1$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求导：$(x{\mathrm{e}}^x{)}^{\prime }={\mathrm{e}}^x+x{\mathrm{e}}^x$（乘积法则）。
2. 代入 $x=0$ 得斜率 $k$，点斜式写方程。

✅【答案】

点击查看答案

$y=3x+1$

✍【详细解析】

Abstract

$y^{\prime }=(x{\mathrm{e}}^x{)}^{\prime }+2={\mathrm{e}}^x+x{\mathrm{e}}^x+2=(1+x){\mathrm{e}}^x+2$。 切点 $(0,1)$ 处斜率 $k=(1+0){\mathrm{e}}^0+2=3$。 故切线方程为 $y-1=3x$，即 $y=3x+1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义与切线方程

核心方法：求导 + 代入切点横坐标

避坑指南：$(x{\mathrm{e}}^x{)}^{\prime }$ 用乘积法则，别漏掉第二项 $x{\mathrm{e}}^x$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：切线方程是导数应用的第一类基本题。

结论推广：$k=f^{\prime }(x_0)$，点斜式 $y-y_0=k(x-x_0)$。

方法推广：切点已给定时只需求斜率，不必再解切点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2011-重庆卷文-03 单-导数切线
• 2011-山东卷文-04 单-导数切线截距
• 2011-江西卷文-04 单-指数曲线切线斜率