2009-新课标卷文-19 解-分层抽样与频率分布

本题导读

统计综合大题：(1) 两层独立、各层内古典概型；(2) 先由样本容量定 $x$，$y$，再按”频率/组距”补全直方图并比较离散程度，最后用组中值加权估计平均数。

📌【题干】

Question

（2009年新课标卷(文)） 某工厂有工人 $1000$ 名，其中 $250$ 名工人参加过短期培训（称为 A 类工人），另外 $750$ 名工人参加过长期培训（称为 B 类工人）.现用分层抽样方法（按 A 类、B 类分二层）从该工厂的工人中共抽查 $100$ 名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）.

(1)求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为 A 类工人，乙为 B 类工人；

(2)从 A 类工人中的抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表 1 和表 2： 表 1（A 类）：生产能力分组 $[100,110)$，$[110,120)$，$[120,130)$，$[130,140)$，$[140,150)$；人数依次为 $4$，$8$，$x$，$5$，$3$. 表 2（B 类）：生产能力分组 $[110,120)$，$[120,130)$，$[130,140)$，$[140,150)$；人数依次为 $6$，$y$，$36$，$18$. （i）先确定 $x$，$y$，再完成频率分布直方图.就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论） （ii）分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.

🔍【思路分析】

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1. (1) A 类抽 $25$ 人、B 类抽 $75$ 人；甲被抽到与乙被抽到相互独立，概率相乘。
2. (2)(i) 由各层抽样人数列方程定 $x$，$y$；柱高 = 频率/组距；观察直方图集中程度。
3. (2)(ii) 组中值加权得 ${\bar{x}}_A$，${\bar{x}}_B$，再按两层人数比例 $\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$ 加权。

✅【答案】

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(1) $\frac{1}{100}$；(2)$x=5$，$y=15$，B 类工人中个体间的差异程度更小；（ii）${\bar{x}}_A=123$，${\bar{x}}_B=133.8$，全厂平均数估计值为 $131.1$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 分层抽样时各层抽取人数与层内人数成比例，故 A 类抽 $100\times \frac{250}{1000}=25$ 人，B 类抽 $100\times \frac{750}{1000}=75$ 人。 甲属于 A 类、乙属于 B 类，两层抽样相互独立，故 $P=\frac{25}{250}\times \frac{75}{750}=\frac{1}{10}\times \frac{1}{10}=\frac{1}{100}.$

（2）（i） 表 1 总人数为 $25$：$4+8+x+5+3=25$，得 $x=5$；表 2 总人数为 $75$：$6+y+36+18=75$，得 $y=15$。 组距为 $10$，各组柱高 = 频率 $÷$ 组距：A 类五组柱高依次为 $0.016$，$0.032$，$0.020$，$0.020$，$0.012$；B 类四组柱高依次为 $0.008$，$0.020$，$0.048$，$0.024$。据此补全直方图。 由直方图可见 B 类工人的数据相对集中，故 B 类工人中个体间的差异程度更小。

（ii） A 类各组组中值为 $105,115,125,135,145$： ${\bar{x}}_A=\frac{105\times 4+115\times 8+125\times 5+135\times 5+145\times 3}{25}=\frac{3075}{25}=123.$ B 类各组组中值为 $115,125,135,145$： ${\bar{x}}_B=\frac{115\times 6+125\times 15+135\times 36+145\times 18}{75}=\frac{10035}{75}=\mathrm{133.8.}$ A 类、B 类工人分别占全厂的 $\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$，故全厂工人生产能力平均数的估计值为 $\bar{x}=\frac{1}{4}\times 123+\frac{3}{4}\times 133.8=\mathrm{131.1.}$ 故估计 A 类工人平均生产能力为 $123$，B 类为 $133.8$，全厂为 $131.1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分层抽样、频率分布直方图与平均数估计

核心方法：分层比例 + 频率/组距 + 组中值加权

避坑指南：平均数用”组中值 $\times$ 频率”累加，全厂平均数还要按两层人数比例 $\frac{1}{4}$、$\frac{3}{4}$ 再加权一次，易漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：统计大题（抽样+直方图+估计）是文数解答题固定板块。

结论推广：柱高 = 频率 $÷$ 组距；各层平均数按层权加权得总体平均。

方法推广：“哪个更小”看直方图集中程度即可，不必计算方差。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 14.03 频率分布直方图中的数据计算

类题演练 (Links)

• 2012-安徽卷文-18 解-频率分布表与总体估计
• 2011-新课标卷文-19 解-频率分布与利润估计
• 2012-天津卷文-15 解-分层抽样与古典概型