2009-新课标卷文-21 解-三次函数极值与恒成立

本题导读

第 (1) 问代入 $a=1$ 直接求极值；第 (2) 问关键在 $x\in [1,4a]$ 时 $x>a$，$f^{\prime }(x)$ 在区间上递增，恒成立只需控制两端点 $|f^{\prime }(1)|$ 与 $|f^{\prime }(4a)|$。

📌【题干】

Question

（2009年新课标卷(文)） 已知函数 $f(x)=x^3-3a{x}^2-9a^{2}x+a^3$.

(1)设 $a=1$，求函数 $f(x)$ 的极值；

(2)若 $a>\frac{1}{4}$，且当 $x\in [1,4a]$ 时，$|f^{\prime }(x)|⩽12a$ 恒成立，试确定 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. (1) $f^{\prime }(x)=3(x+1)(x-3)$，列表得极大值 $f(-1)=6$、极小值 $f(3)=-26$。
2. (2) $f^{\prime }(x)=3(x-3a)(x+a)$；由 $a>\frac{1}{4}$ 知 $[1,4a]$ 非空且 $x⩾1>a$，故 $f^{\prime }(x)$ 在 $[1,4a]$ 上递增，恒成立只需 $|f^{\prime }(4a)|⩽12a$ 且 $|f^{\prime }(1)|⩽12a$，分段解出 $a$ 的范围后取并。

✅【答案】

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(1) 极大值 $6$，极小值 $-26$；(2)$\left(\frac{1}{4},\frac{4}{5}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 当 $a=1$ 时，$f(x)=x^3-3x^2-9x+1$， $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3).$ 当 $x<-1$ 或 $x>3$ 时 $f^{\prime }(x)>0$；当 $-1<x<3$ 时 $f^{\prime }(x)<0$。 故 $x=-1$ 为极大值点，$x=3$ 为极小值点，且 $f(-1)=-1-3+9+1=6,f(3)=27-27-27+1=-26.$ 即极大值为 $6$，极小值为 $-26$。

（2） 一般地，$f^{\prime }(x)=3x^2-6ax-9a^2=3(x-3a)(x+a)$。 由 $x\in [1,4a]$ 且 $a>\frac{1}{4}$ 知区间非空。先看右端点： $|f^{\prime }(4a)|=|3(4a-3a)(4a+a)|=15a^2,$ 要使 $|f^{\prime }(x)|⩽12a$ 恒成立，必须有 $15a^2⩽12a$，因 $a>0$，得 $a⩽\frac{4}{5}$。 反之，设 $\frac{1}{4}<a⩽\frac{4}{5}$，则 $a<1$，从而 $x⩾1>a$，故 $f^{\prime }(x)$ 在 $[1,4a]$ 上单调递增，只需考察两端点。 右端点已满足 $|f^{\prime }(4a)|=15a^2⩽12a$。 若 $\frac{1}{4}<a⩽\frac{1}{3}$，则 $f^{\prime }(1)=3(1-3a)(1+a)⩾0$，且 $f^{\prime }(1)⩽12a⟺3a^2+6a-1⩾0.$由于 $a>\frac{1}{4}>\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$（方程 $3a^2+6a-1=0$ 的正根为 $\frac{2\sqrt{3}-3}{3}\approx 0.155$），上式成立。 若 $\frac{1}{3}⩽a⩽\frac{4}{5}$，则 $|f^{\prime }(1)|=3(3a-1)(1+a)$，且 $|f^{\prime }(1)|⩽12a⟺3a^2-2a-1⩽0⟺(3a+1)(a-1)⩽0,$ 这对 $a⩽\frac{4}{5}<1$ 成立。 综上，$a$ 的取值范围为 $\left(\frac{1}{4},\frac{4}{5}\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数研究单调性与极值、恒成立问题

核心方法：因式分解 + 区间内单调性 + 端点控制

避坑指南：第 (2) 问的关键是发现 $x⩾1>a$（$a⩽\frac{4}{5}$ 时），从而 $f^{\prime }(x)$ 在区间上单调，恒成立只需两端点控制，别对一般区间硬解二次不等式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三次函数 $f^{\prime }(x)=3(x-3a)(x+a)$ 的两根为 $3a$ 与 $-a$，区间 $[1,4a]$ 整体在 $x=a$ 右侧。

结论推广：$|f^{\prime }(x)|⩽M$ 在单调区间上等价于两端点绝对值不超过 $M$。

方法推广：解出必要条件 $a⩽\frac{4}{5}$ 后必须验证充分性（分段讨论 $f^{\prime }(1)$ 的符号），这是完整的逻辑闭环。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.19 恒成立问题——转化为最值法

类题演练 (Links)

• 2011-浙江卷文-21 解-导数单调性与恒成立
• 2011-大纲卷文-21 解-三次函数极值点分布
• 2011-重庆卷文-19 解-三次函数极值