2009-新课标卷文-24 解-绝对值函数分段不等式

本题导读

不等式选讲。按 $x$ 与 $10$、$20$ 的大小分三段去掉绝对值得分段函数，再逐段解 $y⩽70$，合并即得 $x$ 的范围。

📌【题干】

Question

（2009年新课标卷(文)） 如图，$O$ 为数轴的原点，$A$，$B$，$M$ 为数轴上三点，$C$ 为线段 $OM$ 上的动点，设 $x$ 表示 $C$ 与原点的距离，$y$ 表示 $C$ 到 $A$ 距离 $4$ 倍与 $C$ 到 $B$ 距离的 $6$ 倍的和.

(1)将 $y$ 表示成 $x$ 的函数；

(2)要使 $y$ 的值不超过 $70$，$x$ 应该在什么范围内取值？

🔍【思路分析】

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1. (1) 由图 $O$，$A$，$B$，$M$ 坐标依次为 $0$，$10$，$20$，$30$，$0⩽x⩽30$；$y=4|x-10|+6|x-20|$，按 $x<10$、$10⩽x<20$、$x⩾20$ 分三段化简。
2. (2) 逐段解 $y⩽70$，取满足段的并集。

✅【答案】

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(1) $y=\{\begin{array}{ll}160-10x,& 0⩽x<10,\\ 80-2x,& 10⩽x<20,\\ 10x-160,& 20⩽x⩽30;\end{array}$(2)$x\in [9,23]$

✍【详细解析】

Abstract

由图知 $O$，$A$，$B$，$M$ 的坐标依次为 $0$，$10$，$20$，$30$。由于 $C$ 在线段 $OM$ 上，故 $0⩽x⩽30$。

（1） $C$ 到 $A$、$B$ 的距离分别为 $|x-10|$、$|x-20|$，故 $y=4|x-10|+6|x-20|.$ 按 $x$ 与 $10$、$20$ 的大小关系分段： $y=\{\begin{array}{ll}160-10x,& 0⩽x<10,\\ 80-2x,& 10⩽x<20,\\ 10x-160,& 20⩽x⩽30.\end{array}$

（2） 逐段解 $y⩽70$： 第一段 $160-10x⩽70$ 得 $x⩾9$，故 $9⩽x<10$； 第二段 $80-2x⩽70$ 得 $x⩾5$，整段 $10⩽x<20$ 均满足； 第三段 $10x-160⩽70$ 得 $x⩽23$，故 $20⩽x⩽23$。 合并三段并补上分界点，得 $x\in [9,23]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值函数的解析式与不等式

核心方法：零点分段 + 逐段解不等式

避坑指南：三段各自解出的范围取并集，分界点 $x=10$、$x=20$ 是否包含要逐段核对，最后别忘合并。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：绝对值不等式选讲常以数轴/几何背景呈现。

结论推广：$|x-a|$ 的几何意义是数轴上两点距离，分段去绝对值后化为一次不等式。

方法推广：$y⩽70$ 的解集是三段解集的并集，不是交集。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

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