2009-浙江卷文-06 单-椭圆离心率

本题导读

考查椭圆离心率。$B=\left(-c,\frac{b^2}{a}\right)$，$P$ 为 $AB$ 的三等分点且 $x_P=0$，得 $a=2c$，$e=\frac{1}{2}$，选 D。

📌【题干】

Question

（2009年浙江卷(文)） 已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左焦点为 $F$，右顶点为 $A$，点 $B$ 在椭圆上，且 $BF\perp x$ 轴.直线 $AB$ 交 $y$ 轴于点 $P$.若 $\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$，则椭圆的离心率是 ()

🔍【思路分析】

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1. $B\left(-c,\frac{b^2}{a}\right)$（取上半），$A(a,0)$。
2. $P$ 分 $AB$ 成 $AP:PB=2:1$，$x_P=\frac{1\cdot a+2\cdot (-c)}{3}=0$。
3. 得 $a=2c$，$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由 $BF\perp x$ 轴，$B$ 的横坐标为 $-c$，代入椭圆方程得 $y_B^2=b^2\left(1-\frac{c^2}{a^2}\right)=\frac{b^4}{a^2}$，取 $B\left(-c,\frac{b^2}{a}\right)$。 $\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$ 表示 $P$ 分线段 $AB$ 成比 $2:1$，由定比分点公式 $x_P=\frac{x_A+2x_B}{3}=\frac{a-2c}{3}$。 因为 $P$ 在 $y$ 轴上，$x_P=0$，所以 $a=2c$，即 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的离心率

核心方法：定比分点定 $P$ 在 $y$ 轴 + 几何关系 $a=2c$

避坑指南：$BF\perp x$ 轴给出 $B\left(-c,\frac{b^2}{a}\right)$；$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$ 表示 $P$ 分 $AB$ 成 $2:1$，向量式读反方向就会全错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：离心率问题常以几何图形为载体。

结论推广：$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$ 表示 $P$ 在线段 $AB$ 上且 $AP:PB=2:1$，不是反向延长。

方法推广：离心率只与 $a$、$c$ 有关，把条件最终化成 $a$ 与 $c$ 的齐次式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.06 离心率专题
• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-04 单-椭圆离心率
• 2009-江苏卷-13 填-椭圆离心率
• 2012-四川卷文-15 填-椭圆离心率