2009-浙江卷文-11 填-等比数列求和比

本题导读

考查等比数列。$\frac{S_4}{a_4}=\frac{1-q^4}{(1-q)q^3}=\frac{1-\frac{1}{16}}{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{8}}=15$。

📌【题干】

Question

（2009年浙江卷(文)） 设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比 $q=\frac{1}{2}$，前 $n$ 项和为 $S_n$，则 $\frac{S_4}{a_4}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $S_4=\frac{a_1(1-q^4)}{1-q}$，$a_4=a_1{q}^3$。
2. $\frac{S_4}{a_4}=\frac{1-q^4}{(1-q)q^3}=\frac{1-\frac{1}{16}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{8}}=\frac{15}{16}\times 16=15$。

✅【答案】

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$15$

✍【详细解析】

Abstract

$S_4=\frac{a_1\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^4\right)}{1-\frac{1}{2}}=\frac{15a_1}{8}$，$a_4=a_1{\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{a_1}{8}$。 $\frac{S_4}{a_4}=\frac{\frac{15a_1}{8}}{\frac{a_1}{8}}=15$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的前 n 项和

核心方法：比值约去首项

避坑指南：$S_4$ 与 $a_4$ 都含 $a_1$，比值与首项无关；$\frac{1-q^4}{(1-q)q^3}$ 化简时别把 $q^3$ 丢在分母。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列比值型问题是基本量运算的典型。

结论推广：$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$（$q\ne 1$），$a_n=a_1{q}^{n-1}$。

方法推广：比值中的 $a_1$ 必然约去，先约分再代值可减少计算量。

🔗【关联脉络】

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• 19.02 等比数列全总结

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