2009-浙江卷文-20 解-等差数列通项等比

本题导读

考查等差数列与等比条件。$a_n=2kn-k+1$；对任意 $m$ 等比要求 $k=0$ 或 $k=1$。

📌【题干】

Question

（2009年浙江卷(文)） 设 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，$S_n=k{n}^2+n$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$），其中 $k$ 是常数.

(1) 求 $a_1$ 及 $a_n$；

(2) 若对于任意的 $m\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，$a_m$，$a_{2m}$，$a_{4m}$ 成等比数列，求 $k$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) $a_1=S_1=k+1$；$n⩾2$ 时 $a_n=S_n-S_{n-1}=2kn-k+1$，对 $n=1$ 也成立。
2. (2) 等比条件即 $a_m{a}_{4m}=a_{2m}^2$，展开得 $2km(1-k)=0$。
3. 对任意 $m$ 成立 $\Rightarrow k=1$；再检验 $k=0$ 时数列为常数列 $1$，也满足。

✅【答案】

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(1) $a_1=k+1$，$a_n=2kn-k+1$；(2) $k=0$ 或 $k=1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $n=1$ 时，$a_1=S_1=k+1$。 当 $n⩾2$ 时，$a_n=S_n-S_{n-1}=k{n}^2+n-\left(k(n-1{)}^2+(n-1)\right)=k(2n-1)+1=2kn-k+1$。 该式对 $n=1$ 也成立，所以 $a_n=2kn-k+1$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）。 (2) 由 $a_m$，$a_{2m}$，$a_{4m}$ 成等比数列，得 $a_m{a}_{4m}=a_{2m}^2$，即 $(2km-k+1)(8km-k+1)=(4km-k+1{)}^2$。 令 $u=km$（$u>0$），$v=1-k$，则 $(2u+v)(8u+v)=(4u+v{)}^2$， 展开得 $16u^2+10uv+v^2=16u^2+8uv+v^2$，即 $2uv=0$。 所以 $2km(1-k)=0$。由 $km>0$，得 $k=1$。 又 $k=0$ 时 $a_n=1$，数列为常数列，$a_m=a_{2m}=a_{4m}=1$ 成等比数列，符合题意。 故 $k=0$ 或 $k=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列的通项与等比条件

核心方法：$S_n$ 差分求通项 + 恒成立化参数

避坑指南：$a_m{a}_{4m}=a_{2m}^2$ 展开后令 $u=km$ 换元得 $2km(1-k)=0$；“对任意 $m$“给出 $k=1$，但 $k=0$ 的常数列是漏检重灾区。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$S_n$ 为二次式时 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 对 $n⩾2$ 成立，$n=1$ 需单独验。

结论推广：等比中项条件用平方式 $a_m{a}_{4m}=a_{2m}^2$ 比开方更稳妥。

方法推广：恒等式对一切 $m$ 成立时，把 $km$ 看成一个整体变量最省事。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2012-重庆卷文-16 解-等差数列通项与等比
• 2009-辽宁卷文-03 单-等差数列基本量
• 2011-江西卷文-05 单-等差数列和差定首项