2009-福建卷文-08 单-偶函数单调性

本题导读

考查奇偶性与单调性。图示 $f(x)$ 在 $[0,2)$ 递增，偶函数关于 $y$ 轴对称得其在 $(-2,0)$ 递减；选项 C 在 $x<0$ 时 $y=x^3+1$ 递增，单调性不同，选 C。

📌【题干】

Question

（2009年福建卷(文)） 定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数 $f(x)$ 的部分图象如图所示，则在 $(-2,0)$ 上，下列函数中与 $f(x)$ 的单调性不同的是 ()

A. $y=x^2+1$　B. $y=|x|+1$ C. $y=\{\begin{array}{ll}2x+1,& x⩾0,\\ x^3+1,& x<0\end{array}$　D. $y=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^x,& x⩾0,\\ {\mathrm{e}}^{-x},& x<0\end{array}$

🔍【思路分析】

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1. 由图象可知 $f(x)$ 在 $[0,2)$ 上单调递增。
2. $f$ 为偶函数，$f(x)=f(-x)$，$-x$ 随 $x$ 增大而减小，故 $f(x)$ 在 $(-2,0)$ 上单调递减。
3. 逐项检验 $(-2,0)$ 上的单调性：A 中 $2x<0$ 递减；B 中 $y=-x+1$ 递减；C 中 $y=x^3+1$ 的导数 $3x^2>0$ 递增；D 中 $y={\mathrm{e}}^{-x}$ 递减。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由图可知，$f(x)$ 在 $[0,2)$ 上单调递增。 又因为 $f$ 是偶函数，在 $(-2,0)$ 上有 $f(x)=f(-x)$，而 $-x$ 随 $x$ 增大而减小，所以 $f(x)$ 在 $(-2,0)$ 上单调递减。 选项 A 中 $y=x^2+1$ 在该区间上的导数 $2x<0$，单调递减；选项 B 中 $y=|x|+1=-x+1$ 单调递减； 选项 C 在该区间上为 $y=x^3+1$，导数 $3x^2>0$，单调递增；选项 D 在该区间上为 $y={\mathrm{e}}^{-x}$，导数 $-{\mathrm{e}}^{-x}<0$，单调递减。 因此单调性不同的是 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：偶函数的对称性与单调性

核心方法：由 $[0,2)$ 的增减对称写出 $(-2,0)$ 的增减

避坑指南：偶函数 $f(x)=f(-x)$：$-x$ 随 $x$ 增大而减小，故 $f$ 在对称区间上单调性相反；再逐项求导检验四个选项在 $x<0$ 处的单调性。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：奇偶函数在对称区间上”单调性相同/相反”是高频结论。

结论推广：偶函数在对称区间单调性相反，奇函数相同。

方法推广：分段函数须先挑出目标区间对应的那一段再判断，别用错段。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2009-辽宁卷文-12 单-偶函数单调解不等式
• 2011-新课标卷文-03 单-偶函数与单调性
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性