2009-福建卷文-17 解-等差等比数列

本题导读

考查数列基本量。(1) $q^3=\frac{a_4}{a_1}=8$，$q=2$，$a_n=2^n$；(2) $b_3=8$，$b_5=32$，$d=12$，$b_n=12n-28$，$S_n=2n(3n-11)$。

📌【题干】

Question

（2009年福建卷(文)） 等比数列 $\{a_n\}$ 中，已知 $a_1=2$，$a_4=16$.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 若 $a_3$，$a_5$ 分别为等差数列 $\{b_n\}$ 的第 $3$ 项和第 $5$ 项，试求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式及前 $n$ 项和 $S_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 由 $a_4=a_1{q}^3$ 解出 $q$，再写通项。
2. (2) 先算 $a_3=8$，$a_5=32$，即 $b_3=8$，$b_5=32$；
3. 由 $b_5-b_3=2d$ 得公差，回代求 $b_1$，写出 $b_n$ 与 $S_n$。

✅【答案】

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(1) $a_n=2^n$；(2) $b_n=12n-28$，$S_n=2n(3n-11)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$。由 $a_4=a_1{q}^3$ 得 $2q^3=16$，所以 $q=2$， 从而数列的通项公式为 $a_n=2\cdot 2^{n-1}=2^n$。 (2) 由 (1) 得 $a_3=8$，$a_5=32$。设等差数列 $\{b_n\}$ 的公差为 $d$，则 $b_3=8$，$b_5=32$， 所以 $2d=b_5-b_3=24$，即 $d=12$，进而 $b_1=b_3-2d=8-24=-16$。 因此 $b_n=b_1+(n-1)d=-16+12(n-1)=12n-28$， 前 $n$ 项和为 $S_n=\frac{n}{2}\left(2b_1+(n-1)d\right)=\frac{n}{2}(-32+12n-12)=2n(3n-11)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差等比数列的基本量

核心方法：先解公比，再由两项定公差

避坑指南：$q^3=\frac{a_4}{a_1}=8$ 得 $q=2$；$b_5-b_3=2d=24$ 得 $d=12$，$b_1=b_3-2d=-16$；$S_n=\frac{n}{2}(2b_1+(n-1)d)=2n(3n-11)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列知两项即知全部：$d=\frac{b_5-b_3}{2}$。

结论推广：等比数列 $a_n=a_1{q}^{n-1}$，基本量法两方程解两未知数。

方法推广：$S_n$ 展开后按 $n^2$、$n$、常数整理成 $2n(3n-11)$ 最简洁。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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• 2009-大纲卷II文-17 解-等差数列求和
• 2009-北京卷文-10 填-等比数列求和
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