2010-山东卷文-21 解-导数切线与单调性

本题导读

考查导数切线与单调性。(1) $a=-1$ 时 $f^{\prime }(x)=\frac{(x-1)(x+2)}{x^2}$，$f(2)=\ln 2+2$，$f^{\prime }(2)=1$，切线 $y=x+\ln 2$；(2) $f^{\prime }(x)=\frac{(x-1)(1-a-ax)}{x^2}$，按 $a⩽0$、$0<a<\frac{1}{2}$、$a=\frac{1}{2}$ 三类讨论。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(文)） 已知函数 $f(x)=\ln x-ax+\frac{1-a}{x}-1$（$a\in \mathbf{R}$）.

(1) 当 $a=-1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(2,f(2))$ 处的切线方程；

(2) 当 $a⩽\frac{1}{2}$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性.

🔍【思路分析】

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1. (1) $a=-1$ 时 $f(x)=\ln x+x+\frac{2}{x}-1$，$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}+1-\frac{2}{x^2}=\frac{(x-1)(x+2)}{x^2}$。
2. $f(2)=\ln 2+2+1-1=\ln 2+2$，$f^{\prime }(2)=\frac{(2-1)(2+2)}{4}=1$。
3. 切线 $y-(\ln 2+2)=1\cdot (x-2)$，即 $y=x+\ln 2$。
4. (2) 定义域 $x>0$，$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-a-\frac{1-a}{x^2}=\frac{x-a{x}^2-(1-a)}{x^2}=\frac{(x-1)(1-a-ax)}{x^2}$。
5. 当 $a⩽0$：$1-a-ax>0$，$f^{\prime }$ 在 $(0,1)$ 负、$(1,+\infty )$ 正，$f$ 在 $(0,1)$ 减、$(1,+\infty )$ 增。
6. 当 $0<a<\frac{1}{2}$：令 $1-a-ax=0$ 得 $x=\frac{1-a}{a}>1$，$f$ 在 $(0,1)$ 减、$\left(1,\frac{1-a}{a}\right)$ 增、$\left(\frac{1-a}{a},+\infty \right)$ 减。
7. 当 $a=\frac{1}{2}$：$f^{\prime }(x)=\frac{-(x-1{)}^2}{2x^2}⩽0$，$f$ 在 $(0,+\infty )$ 减。

✅【答案】

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(1) $y=x+\ln 2$

(2) 见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $a=-1$ 时，$f(x)=\ln x+x+\frac{2}{x}-1$，其定义域为 $(0,+\infty )$. 求导得 $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}+1-\frac{2}{x^2}=\frac{x^2+x-2}{x^2}=\frac{(x-1)(x+2)}{x^2}.$ 于是 $f(2)=\ln 2+2+1-1=\ln 2+2$，$f^{\prime }(2)=\frac{(2-1)(2+2)}{4}=1$. 曲线在点 $(2,f(2))$ 处的切线方程为 $y-(\ln 2+2)=1\cdot (x-2),\text{即}y=x+\ln 2.$ (2) 函数定义域为 $(0,+\infty )$，且 $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-a-\frac{1-a}{x^2}=\frac{x-a{x}^2-(1-a)}{x^2}=\frac{(x-1)(1-a-ax)}{x^2}.$ ① 当 $a⩽0$ 时，因 $x>0$，$1-a-ax>0$，故当 $0<x<1$ 时 $f^{\prime }(x)<0$，当 $x>1$ 时 $f^{\prime }(x)>0$， 所以 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty )$ 上单调递增. ② 当 $0<a<\frac{1}{2}$ 时，令 $1-a-ax=0$，得 $x=\frac{1-a}{a}>1$. 此时 $f^{\prime }(x)$ 的符号在 $(0,1)$、$\left(1,\frac{1-a}{a}\right)$、$\left(\frac{1-a}{a},+\infty \right)$ 上依次为负、正、负， 故 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上递减，在 $\left(1,\frac{1-a}{a}\right)$ 上递增，在 $\left(\frac{1-a}{a},+\infty \right)$ 上递减. ③ 当 $a=\frac{1}{2}$ 时， $f^{\prime }(x)=\frac{-(x-1{)}^2}{2x^2}⩽0,$ 故 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义与单调性讨论

核心方法：(1) 求 $f^{\prime }(x)$ 代入 $x=2$ 写切线；(2) 分解 $f^{\prime }(x)=\frac{(x-1)(1-a-ax)}{x^2}$ 分类讨论

避坑指南：切线斜率 $f^{\prime }(2)=1$，切点 $f(2)=\ln 2+2$，方程 $y=x+\ln 2$；单调性分 $a⩽0$、$0<a<\frac{1}{2}$、$a=\frac{1}{2}$ 三类，别漏 $a=\frac{1}{2}$ 的临界情形。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含参函数的单调性讨论是导数大题的必考类型。

结论推广：$f^{\prime }(x)=\frac{(x-1)(1-a-ax)}{x^2}$，零点 $x=1$ 与 $x=\frac{1-a}{a}$ 的相对位置随 $a$ 变化，需分三档。

方法推广：讨论单调性先因式分解导数，找出零点，再按零点与定义域的关系及大小分档，画符号表。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-21 解-导数极值与恒成立
• 2009-新课标卷文-13 填-指数曲线切线
• 2009-江苏卷-03 填-导数单调区间
• 2009-辽宁卷文-21 解-导数切线单调与放缩